Номер 784, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Упражнения - номер 784, страница 191.

Условие.

784. Решите уравнение:

1) $ \frac{x^2 - 9x - 10}{x^2 - 1} = 0 $;

2) $ \frac{x^2 + 5x - 14}{x^2 - 6x + 8} = 0 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{x^2 - 9x - 10}{x^2 - 1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 9x - 10 = 0, \\ x^2 - 1 \neq 0. \end{cases}$

Сначала решим уравнение числителя: $x^2 - 9x - 10 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.
$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$.
$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$.
Таким образом, потенциальные корни уравнения: $x=10$ и $x=-1$.

Теперь найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которых знаменатель не обращается в ноль: $x^2 - 1 \neq 0$.
$x^2 \neq 1$
$x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Сопоставим корни числителя с ОДЗ.
Корень $x = 10$ удовлетворяет условию ОДЗ, так как $10 \neq 1$ и $10 \neq -1$.
Корень $x = -1$ не удовлетворяет условию ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x = -1$ является посторонним корнем и не является решением исходного уравнения.

Единственным решением уравнения является $x = 10$.

Ответ: 10.

2) $\frac{x^2 + 5x - 14}{x^2 - 6x + 8} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 5x - 14 = 0, \\ x^2 - 6x + 8 \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы (числитель): $x^2 + 5x - 14 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = -5$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -14$.
Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -7$.

Теперь рассмотрим условие для знаменателя: $x^2 - 6x + 8 \neq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$, чтобы определить значения $x$, которые нужно исключить.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 6$.
$x_1 \cdot x_2 = 8$.
Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $x \neq 2$ и $x \neq 4$.

Исключим из корней числителя ($x=2, x=-7$) те, которые не входят в ОДЗ.
Корень $x = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатель равен нулю. Значит, это посторонний корень.
Корень $x = -7$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-7 \neq 2$ и $-7 \neq 4$.

Единственным решением уравнения является $x = -7$.

Ответ: -7.