Номер 781, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 781, страница 191.

Условие.

781. Решите уравнение:

1) $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0;$

2) $x - \sqrt{x} - 12 = 0;$

3) $3x - 10\sqrt{x} + 3 = 0;$

4) $8\sqrt{x} + x + 7 = 0;$

5) $6\sqrt{x} - 27 + x = 0;$

6) $8x - 10\sqrt{x} + 3 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\sqrt{x}$. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием подкоренного выражения: $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, то на новую переменную $t$ накладывается условие $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $t$, так как $x = (\sqrt{x})^2 = t^2$:
$t^2 - 3t + 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 3$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 2$. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Либо можно решить через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$
$t_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$
$t_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$

Оба найденных значения для $t$ ($t_1=2$ и $t_2=1$) удовлетворяют условию $t \ge 0$, поэтому оба являются решениями для уравнения с переменной $t$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
1. Если $\sqrt{x} = 2$, то, возводя обе части в квадрат, получаем $x = 2^2 = 4$.
2. Если $\sqrt{x} = 1$, то $x = 1^2 = 1$.

Проверка:
При $x=4$: $4 - 3\sqrt{4} + 2 = 4 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$. Верно.
При $x=1$: $1 - 3\sqrt{1} + 2 = 1 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Верно.

Ответ: $1; 4$.

2) $x - \sqrt{x} - 12 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$. Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - t - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 1$ и $t_1 \cdot t_2 = -12$. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$:
$t_1 = 4$ - удовлетворяет условию.
$t_2 = -3$ - не удовлетворяет условию ($ -3 < 0 $), поэтому это посторонний корень.

Выполняем обратную замену для подходящего корня $t=4$:
$\sqrt{x} = 4$
$x = 4^2 = 16$.

Проверка:
При $x=16$: $16 - \sqrt{16} - 12 = 16 - 4 - 12 = 0$. Верно.

Ответ: $16$.

3) $3x - 10\sqrt{x} + 3 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$. Сделаем замену $t = \sqrt{x}$ ($t \ge 0$).
Уравнение сводится к квадратному:
$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Решим его через дискриминант:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$
$t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$
$t_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$t_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня $t_1=3$ и $t_2=1/3$ положительны, значит, оба подходят.

Выполним обратную замену:
1. $\sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$.
2. $\sqrt{x} = \frac{1}{3} \implies x = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

Проверка:
При $x=9$: $3(9) - 10\sqrt{9} + 3 = 27 - 10(3) + 3 = 27 - 30 + 3 = 0$. Верно.
При $x=1/9$: $3(\frac{1}{9}) - 10\sqrt{\frac{1}{9}} + 3 = \frac{1}{3} - 10(\frac{1}{3}) + 3 = \frac{1}{3} - \frac{10}{3} + \frac{9}{3} = 0$. Верно.

Ответ: $\frac{1}{9}; 9$.

4) $8\sqrt{x} + x + 7 = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $x + 8\sqrt{x} + 7 = 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$ имеем: $x \ge 0$ и $8\sqrt{x} \ge 0$.
Тогда левая часть уравнения $x + 8\sqrt{x} + 7$ является суммой двух неотрицательных слагаемых и положительного числа 7. Следовательно, $x + 8\sqrt{x} + 7 \ge 0 + 0 + 7 = 7$.
Значение левой части всегда больше или равно 7, а значит, оно никогда не может быть равно нулю.

Другой способ — через замену. Пусть $t=\sqrt{x}$, $t \ge 0$.
$t^2 + 8t + 7 = 0$
По теореме Виета $t_1+t_2 = -8$, $t_1 \cdot t_2 = 7$. Корни $t_1=-1$ и $t_2=-7$.
Оба корня отрицательны, что противоречит условию $t \ge 0$. Следовательно, решений нет.

Ответ: корней нет.

5) $6\sqrt{x} - 27 + x = 0$

Перепишем уравнение: $x + 6\sqrt{x} - 27 = 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$. Сделаем замену $t = \sqrt{x}$ ($t \ge 0$).
$t^2 + 6t - 27 = 0$

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -6$ и $t_1 \cdot t_2 = -27$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -9$.
Проверяем условие $t \ge 0$:
$t_1 = 3$ - подходит.
$t_2 = -9$ - не подходит (посторонний корень).

Выполняем обратную замену:
$\sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$.

Проверка:
При $x=9$: $6\sqrt{9} - 27 + 9 = 6 \cdot 3 - 27 + 9 = 18 - 27 + 9 = 0$. Верно.

Ответ: $9$.

6) $8x - 10\sqrt{x} + 3 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$. Замена: $t = \sqrt{x}$ ($t \ge 0$).
$8t^2 - 10t + 3 = 0$

Решаем через дискриминант:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 - 96 = 4$
$t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{10 \pm 2}{16}$
$t_1 = \frac{10 + 2}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$
$t_2 = \frac{10 - 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Оба корня $t_1=3/4$ и $t_2=1/2$ положительны и удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполняем обратную замену:
1. $\sqrt{x} = \frac{3}{4} \implies x = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$.
2. $\sqrt{x} = \frac{1}{2} \implies x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Проверка:
При $x=9/16$: $8(\frac{9}{16}) - 10\sqrt{\frac{9}{16}} + 3 = \frac{9}{2} - 10(\frac{3}{4}) + 3 = \frac{9}{2} - \frac{15}{2} + \frac{6}{2} = \frac{9-15+6}{2} = 0$. Верно.
При $x=1/4$: $8(\frac{1}{4}) - 10\sqrt{\frac{1}{4}} + 3 = 2 - 10(\frac{1}{2}) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$. Верно.

Ответ: $\frac{1}{4}; \frac{9}{16}$.