Страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

779. Решите уравнение:

1) $(x + 3)^4 - 3(x + 3)^2 - 4 = 0;$

2) $(2x + 1)^4 - 10(2x + 1)^2 + 9 = 0;$

3) $(6x - 7)^4 + 4(6x - 7)^2 + 3 = 0;$

4) $(x - 4)^4 + 2(x - 4)^2 - 8 = 0.$

1) $(x + 3)^4 - 3(x + 3)^2 - 4 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно выражения $(x+3)$.
Введем замену переменной. Пусть $t = (x + 3)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Тогда исходное уравнение примет вид:

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 0$.
$t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 < 0$, поэтому этот корень является посторонним.

Вернемся к исходной переменной $x$, используя корень $t = 4$.
$(x + 3)^2 = 4$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x + 3 = 2$ или $x + 3 = -2$
$x_1 = 2 - 3 = -1$
$x_2 = -2 - 3 = -5$

Ответ: -5; -1.

2) $(2x + 1)^4 - 10(2x + 1)^2 + 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: $t = (2x + 1)^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 10t + 9 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Отсюда корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня.
Случай 1: $t = 1$
$(2x + 1)^2 = 1$
$2x + 1 = 1$ или $2x + 1 = -1$
$2x = 0 \implies x_1 = 0$
$2x = -2 \implies x_2 = -1$

Случай 2: $t = 9$
$(2x + 1)^2 = 9$
$2x + 1 = 3$ или $2x + 1 = -3$
$2x = 2 \implies x_3 = 1$
$2x = -4 \implies x_4 = -2$

Ответ: -2; -1; 0; 1.

3) $(6x - 7)^4 + 4(6x - 7)^2 + 3 = 0$

Введем замену переменной: $t = (6x - 7)^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:

$t^2 + 4t + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета: сумма корней равна -4, произведение равно 3. Отсюда корни $t_1 = -1$ и $t_2 = -3$.
Оба корня не удовлетворяют условию $t \ge 0$, так как $-1 < 0$ и $-3 < 0$.
Следовательно, уравнение для $t$ не имеет неотрицательных корней, а значит и исходное уравнение не имеет действительных корней.
Другой способ: для любого действительного $x$, выражение $(6x-7)^4 \ge 0$ и $4(6x-7)^2 \ge 0$. Тогда левая часть уравнения $(6x - 7)^4 + 4(6x - 7)^2 + 3 \ge 0 + 0 + 3 = 3$. Так как левая часть всегда больше или равна 3, она никогда не может быть равна 0.

Ответ: корней нет.

4) $(x - 4)^4 + 2(x - 4)^2 - 8 = 0$

Введем замену переменной: $t = (x - 4)^2$, где $t \ge 0$.
Получим уравнение:

$t^2 + 2t - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.
Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 0$.
$t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $-4 < 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$, используя корень $t = 2$.
$(x - 4)^2 = 2$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x - 4 = \sqrt{2}$ или $x - 4 = -\sqrt{2}$
$x_1 = 4 + \sqrt{2}$
$x_2 = 4 - \sqrt{2}$

Ответ: $4 - \sqrt{2}$; $4 + \sqrt{2}$.

780. Решите уравнение:

1) $(3x - 1)^4 - 20(3x - 1)^2 + 64 = 0;$

2) $(2x + 3)^4 - 24(2x + 3)^2 - 25 = 0.$

1) $(3x - 1)^4 - 20(3x - 1)^2 + 64 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(3x - 1)$. Для его решения введем замену переменной.

Пусть $y = (3x - 1)^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, должно выполняться условие $y \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение и получим квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 20y + 64 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144 = 12^2$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два действительных корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Оба найденных значения для $y$ ($16$ и $4$) удовлетворяют условию $y \ge 0$, поэтому оба являются допустимыми решениями.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

Случай 1: $y = 16$

$(3x - 1)^2 = 16$

Это уравнение распадается на два линейных:

$3x - 1 = 4 \quad \text{или} \quad 3x - 1 = -4$

Из первого уравнения: $3x = 5 \implies x_1 = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

Из второго уравнения: $3x = -3 \implies x_2 = -1$

Случай 2: $y = 4$

$(3x - 1)^2 = 4$

Это уравнение также распадается на два линейных:

$3x - 1 = 2 \quad \text{или} \quad 3x - 1 = -2$

Из первого уравнения: $3x = 3 \implies x_3 = 1$

Из второго уравнения: $3x = -1 \implies x_4 = -\frac{1}{3}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; -\frac{1}{3}; 1; 1\frac{2}{3}$.

2) $(2x + 3)^4 - 24(2x + 3)^2 - 25 = 0$

Это уравнение также является биквадратным. Сделаем замену переменной.

Пусть $z = (2x + 3)^2$. По определению, $z \ge 0$.

После подстановки получаем квадратное уравнение относительно $z$:

$z^2 - 24z - 25 = 0$

Решим его. Можно применить теорему Виета: сумма корней равна $24$, а их произведение равно $-25$. Этим условиям удовлетворяют числа $25$ и $-1$.

$z_1 = 25$

$z_2 = -1$

Теперь проверим корни на соответствие условию $z \ge 0$.

Корень $z_1 = 25$ удовлетворяет условию, так как $25 \ge 0$.

Корень $z_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня $z = 25$.

$(2x + 3)^2 = 25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два линейных уравнения:

$2x + 3 = 5 \quad \text{или} \quad 2x + 3 = -5$

Решаем первое уравнение:

$2x = 5 - 3 \implies 2x = 2 \implies x_1 = 1$

Решаем второе уравнение:

$2x = -5 - 3 \implies 2x = -8 \implies x_2 = -4$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-4; 1$.

781. Решите уравнение:

1) $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0;$

2) $x - \sqrt{x} - 12 = 0;$

3) $3x - 10\sqrt{x} + 3 = 0;$

4) $8\sqrt{x} + x + 7 = 0;$

5) $6\sqrt{x} - 27 + x = 0;$

6) $8x - 10\sqrt{x} + 3 = 0.$

1) $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\sqrt{x}$. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием подкоренного выражения: $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, то на новую переменную $t$ накладывается условие $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $t$, так как $x = (\sqrt{x})^2 = t^2$:
$t^2 - 3t + 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 3$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 2$. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Либо можно решить через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$
$t_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$
$t_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$

Оба найденных значения для $t$ ($t_1=2$ и $t_2=1$) удовлетворяют условию $t \ge 0$, поэтому оба являются решениями для уравнения с переменной $t$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
1. Если $\sqrt{x} = 2$, то, возводя обе части в квадрат, получаем $x = 2^2 = 4$.
2. Если $\sqrt{x} = 1$, то $x = 1^2 = 1$.

Проверка:
При $x=4$: $4 - 3\sqrt{4} + 2 = 4 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$. Верно.
При $x=1$: $1 - 3\sqrt{1} + 2 = 1 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Верно.

Ответ: $1; 4$.

2) $x - \sqrt{x} - 12 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$. Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - t - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 1$ и $t_1 \cdot t_2 = -12$. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$:
$t_1 = 4$ - удовлетворяет условию.
$t_2 = -3$ - не удовлетворяет условию ($ -3 < 0 $), поэтому это посторонний корень.

Выполняем обратную замену для подходящего корня $t=4$:
$\sqrt{x} = 4$
$x = 4^2 = 16$.

Проверка:
При $x=16$: $16 - \sqrt{16} - 12 = 16 - 4 - 12 = 0$. Верно.

Ответ: $16$.

3) $3x - 10\sqrt{x} + 3 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$. Сделаем замену $t = \sqrt{x}$ ($t \ge 0$).
Уравнение сводится к квадратному:
$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Решим его через дискриминант:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$
$t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$
$t_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$t_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня $t_1=3$ и $t_2=1/3$ положительны, значит, оба подходят.

Выполним обратную замену:
1. $\sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$.
2. $\sqrt{x} = \frac{1}{3} \implies x = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

Проверка:
При $x=9$: $3(9) - 10\sqrt{9} + 3 = 27 - 10(3) + 3 = 27 - 30 + 3 = 0$. Верно.
При $x=1/9$: $3(\frac{1}{9}) - 10\sqrt{\frac{1}{9}} + 3 = \frac{1}{3} - 10(\frac{1}{3}) + 3 = \frac{1}{3} - \frac{10}{3} + \frac{9}{3} = 0$. Верно.

Ответ: $\frac{1}{9}; 9$.

4) $8\sqrt{x} + x + 7 = 0$

Перепишем уравнение в стандартном виде: $x + 8\sqrt{x} + 7 = 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$ имеем: $x \ge 0$ и $8\sqrt{x} \ge 0$.
Тогда левая часть уравнения $x + 8\sqrt{x} + 7$ является суммой двух неотрицательных слагаемых и положительного числа 7. Следовательно, $x + 8\sqrt{x} + 7 \ge 0 + 0 + 7 = 7$.
Значение левой части всегда больше или равно 7, а значит, оно никогда не может быть равно нулю.

Другой способ — через замену. Пусть $t=\sqrt{x}$, $t \ge 0$.
$t^2 + 8t + 7 = 0$
По теореме Виета $t_1+t_2 = -8$, $t_1 \cdot t_2 = 7$. Корни $t_1=-1$ и $t_2=-7$.
Оба корня отрицательны, что противоречит условию $t \ge 0$. Следовательно, решений нет.

Ответ: корней нет.

5) $6\sqrt{x} - 27 + x = 0$

Перепишем уравнение: $x + 6\sqrt{x} - 27 = 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$. Сделаем замену $t = \sqrt{x}$ ($t \ge 0$).
$t^2 + 6t - 27 = 0$

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -6$ и $t_1 \cdot t_2 = -27$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -9$.
Проверяем условие $t \ge 0$:
$t_1 = 3$ - подходит.
$t_2 = -9$ - не подходит (посторонний корень).

Выполняем обратную замену:
$\sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9$.

Проверка:
При $x=9$: $6\sqrt{9} - 27 + 9 = 6 \cdot 3 - 27 + 9 = 18 - 27 + 9 = 0$. Верно.

Ответ: $9$.

6) $8x - 10\sqrt{x} + 3 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$. Замена: $t = \sqrt{x}$ ($t \ge 0$).
$8t^2 - 10t + 3 = 0$

Решаем через дискриминант:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 - 96 = 4$
$t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{10 \pm 2}{16}$
$t_1 = \frac{10 + 2}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$
$t_2 = \frac{10 - 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Оба корня $t_1=3/4$ и $t_2=1/2$ положительны и удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполняем обратную замену:
1. $\sqrt{x} = \frac{3}{4} \implies x = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$.
2. $\sqrt{x} = \frac{1}{2} \implies x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Проверка:
При $x=9/16$: $8(\frac{9}{16}) - 10\sqrt{\frac{9}{16}} + 3 = \frac{9}{2} - 10(\frac{3}{4}) + 3 = \frac{9}{2} - \frac{15}{2} + \frac{6}{2} = \frac{9-15+6}{2} = 0$. Верно.
При $x=1/4$: $8(\frac{1}{4}) - 10\sqrt{\frac{1}{4}} + 3 = 2 - 10(\frac{1}{2}) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$. Верно.

Ответ: $\frac{1}{4}; \frac{9}{16}$.

782. Решите уравнение:

1) $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0$

2) $x - 5\sqrt{x} - 50 = 0$

3) $2x - 3\sqrt{x} + 1 = 0$

1) $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения введем замену переменной.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении есть $\sqrt{x}$, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Из этой замены следует, что $x = t^2$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$t^2 - 6t + 8 = 0$
Получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корнями являются $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Оба корня ($2$ и $4$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену для каждого корня:
1. Для $t_1 = 2$: $\sqrt{x} = 2$. Возводим обе части в квадрат и получаем $x_1 = 4$.
2. Для $t_2 = 4$: $\sqrt{x} = 4$. Возводим обе части в квадрат и получаем $x_2 = 16$.
Оба найденных значения $x$ ($4$ и $16$) удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: 4; 16.

2) $x - 5\sqrt{x} - 50 = 0$

Это уравнение также решается с помощью введения новой переменной.
ОДЗ: $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.
Введем замену: пусть $t = \sqrt{x}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Запишем уравнение с новой переменной:
$t^2 - 5t - 50 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 5, произведение равно -50. Корнями являются $t_1 = 10$ и $t_2 = -5$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$:
$t_1 = 10$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < 0$), поэтому это посторонний корень.
Выполним обратную замену для подходящего корня $t = 10$:
$\sqrt{x} = 10$. Возведя обе части в квадрат, находим $x = 100$.
Найденное значение $x=100$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 100.

3) $2x - 3\sqrt{x} + 1 = 0$

Решим это уравнение методом замены переменной.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Подставляем в уравнение:
$2t^2 - 3t + 1 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$.
Находим два корня для $t$:
$t_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Оба корня, $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = 1$, являются неотрицательными, поэтому оба подходят.
Выполним обратную замену:
1. Для $t_1 = \frac{1}{2}$: $\sqrt{x} = \frac{1}{2}$. Возводим в квадрат: $x_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
2. Для $t_2 = 1$: $\sqrt{x} = 1$. Возводим в квадрат: $x_2 = 1^2 = 1$.
Оба значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{4}$; 1.

783. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 9x + 18}{x^2 - 9} = 0;$

2) $\frac{3x^2 - 14x - 5}{3x^2 + x} = 0;$

3) $\frac{x^2 - 12x + 35}{x^2 - 10x + 25} = 0;$

4) $\frac{x^2 - 7x + 6}{x^2 + 2x - 3} = 0.$

1) Рациональная дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы:
$ \begin{cases} x^2 - 9x + 18 = 0 \\ x^2 - 9 \neq 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение (числитель):
$x^2 - 9x + 18 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 9$
$x_1 \cdot x_2 = 18$
Подбором находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 6$.
Теперь решим второе условие (знаменатель):
$x^2 - 9 \neq 0$
$x^2 \neq 9$
$x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Это область допустимых значений (ОДЗ).
Сравним полученные корни с ОДЗ. Корень $x = 3$ не удовлетворяет условию $x \neq 3$, поэтому он является посторонним. Корень $x = 6$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 6

2) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля. Составим систему:
$ \begin{cases} 3x^2 - 14x - 5 = 0 \\ 3x^2 + x \neq 0 \end{cases} $
Решим уравнение для числителя:
$3x^2 - 14x - 5 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$
Найдем корни:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 16}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 16}{6}$
$x_1 = \frac{14 - 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$
Теперь найдем ОДЗ из условия, что знаменатель не равен нулю:
$3x^2 + x \neq 0$
$x(3x + 1) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 0$ и $3x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -\frac{1}{3}$.
Сравниваем корни числителя с ОДЗ. Корень $x = -\frac{1}{3}$ не входит в ОДЗ, значит, это посторонний корень. Корень $x = 5$ входит в ОДЗ.
Ответ: 5

3) Уравнение имеет решение, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$ \begin{cases} x^2 - 12x + 35 = 0 \\ x^2 - 10x + 25 \neq 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение (числитель):
$x^2 - 12x + 35 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 12$
$x_1 \cdot x_2 = 35$
Корни уравнения: $x_1 = 5$, $x_2 = 7$.
Теперь проверим ОДЗ (знаменатель):
$x^2 - 10x + 25 \neq 0$
Заметим, что это формула квадрата разности: $(x - 5)^2 \neq 0$
Следовательно, $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.
Корень $x = 5$, полученный из числителя, не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x = 7$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 7

4) Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
$ \begin{cases} x^2 - 7x + 6 = 0 \\ x^2 + 2x - 3 \neq 0 \end{cases} $
Найдем нули числителя:
$x^2 - 7x + 6 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 7$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.
Найдем ОДЗ, для этого решим уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$, чтобы найти недопустимые значения.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -2$
$x_1 \cdot x_2 = -3$
Корни знаменателя: $x = 1$ и $x = -3$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -3$.
Сравниваем корни числителя с ОДЗ. Корень $x = 1$ является недопустимым значением. Корень $x = 6$ является допустимым.
Ответ: 6

784. Решите уравнение:

1) $ \frac{x^2 - 9x - 10}{x^2 - 1} = 0 $;

2) $ \frac{x^2 + 5x - 14}{x^2 - 6x + 8} = 0 $.

1) $\frac{x^2 - 9x - 10}{x^2 - 1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 9x - 10 = 0, \\ x^2 - 1 \neq 0. \end{cases}$

Сначала решим уравнение числителя: $x^2 - 9x - 10 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.
$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$.
$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$.
Таким образом, потенциальные корни уравнения: $x=10$ и $x=-1$.

Теперь найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которых знаменатель не обращается в ноль: $x^2 - 1 \neq 0$.
$x^2 \neq 1$
$x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Сопоставим корни числителя с ОДЗ.
Корень $x = 10$ удовлетворяет условию ОДЗ, так как $10 \neq 1$ и $10 \neq -1$.
Корень $x = -1$ не удовлетворяет условию ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x = -1$ является посторонним корнем и не является решением исходного уравнения.

Единственным решением уравнения является $x = 10$.

Ответ: 10.

2) $\frac{x^2 + 5x - 14}{x^2 - 6x + 8} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 5x - 14 = 0, \\ x^2 - 6x + 8 \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы (числитель): $x^2 + 5x - 14 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = -5$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -14$.
Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -7$.

Теперь рассмотрим условие для знаменателя: $x^2 - 6x + 8 \neq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$, чтобы определить значения $x$, которые нужно исключить.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 6$.
$x_1 \cdot x_2 = 8$.
Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $x \neq 2$ и $x \neq 4$.

Исключим из корней числителя ($x=2, x=-7$) те, которые не входят в ОДЗ.
Корень $x = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=2$ знаменатель равен нулю. Значит, это посторонний корень.
Корень $x = -7$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-7 \neq 2$ и $-7 \neq 4$.

Единственным решением уравнения является $x = -7$.

Ответ: -7.

785. Решите уравнение:

1) $\frac{2y}{y-3} = \frac{3y+3}{y};$

2) $\frac{3x+4}{x-3} = \frac{2x-9}{x+1};$

3) $\frac{5x+2}{x-1} = \frac{4x+13}{x+7};$

4) $\frac{2x^2-3x+1}{x-1} = 3x-4.$

1) $\frac{2y}{y-3} = \frac{3y+3}{y}$

Данное уравнение является рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $y-3 \neq 0$ и $y \neq 0$. Таким образом, ОДЗ: $y \neq 3$ и $y \neq 0$.

Для решения уравнения воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$2y \cdot y = (3y+3)(y-3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2y^2 = 3y^2 - 9y + 3y - 9$

Приведем подобные слагаемые:

$2y^2 = 3y^2 - 6y - 9$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3y^2 - 2y^2 - 6y - 9 = 0$

$y^2 - 6y - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72$

Найдем корни:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 \cdot 2}}{2} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2}$

Получаем два корня: $y_1 = 3 + 3\sqrt{2}$ и $y_2 = 3 - 3\sqrt{2}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как они не равны 0 или 3.

Ответ: $3 - 3\sqrt{2}; 3 + 3\sqrt{2}$

2) $\frac{3x+4}{x-3} = \frac{2x-9}{x+1}$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Применим правило пропорции:

$(3x+4)(x+1) = (2x-9)(x-3)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$3x^2 + 3x + 4x + 4 = 2x^2 - 6x - 9x + 27$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 7x + 4 = 2x^2 - 15x + 27$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$3x^2 - 2x^2 + 7x + 15x + 4 - 27 = 0$

$x^2 + 22x - 23 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-22$, а их произведение равно $-23$. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = -23$

Проверим, что $1 + (-23) = -22$ и $1 \cdot (-23) = -23$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq -1$).

Ответ: $-23; 1$

3) $\frac{5x+2}{x-1} = \frac{4x+13}{x+7}$

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x+7 \neq 0 \implies x \neq -7$.

Воспользуемся перекрестным умножением:

$(5x+2)(x+7) = (4x+13)(x-1)$

Раскроем скобки:

$5x^2 + 35x + 2x + 14 = 4x^2 - 4x + 13x - 13$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^2 + 37x + 14 = 4x^2 + 9x - 13$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$5x^2 - 4x^2 + 37x - 9x + 14 + 13 = 0$

$x^2 + 28x + 27 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета: сумма корней равна $-28$, произведение равно $27$.

Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -27$.

Проверим, что $(-1) + (-27) = -28$ и $(-1) \cdot (-27) = 27$.

Оба корня входят в ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -7$).

Ответ: $-27; -1$

4) $\frac{2x^2-3x+1}{x-1} = 3x-4$

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x-1)$, чтобы избавиться от дроби:

$2x^2-3x+1 = (3x-4)(x-1)$

Раскроем скобки в правой части:

$2x^2-3x+1 = 3x^2 - 3x - 4x + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2-3x+1 = 3x^2 - 7x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3x^2 - 2x^2 - 7x + 3x + 4 - 1 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а произведение равно $3$. Корни уравнения:

$x_1=1$, $x_2=3$

Теперь необходимо проверить корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $3$

786. Найдите корни уравнения:

1) $\frac{2x-13}{x-6} = \frac{x+6}{x}$

2) $\frac{3x^2-4x-20}{x+2} = 2x-5$

1) $\frac{2x-13}{x-6} = \frac{x+6}{x}$

Это рациональное уравнение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения переменной $x$, которые обращают знаменатели в ноль.

ОДЗ:
$x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6$
$x \neq 0$

На ОДЗ уравнение можно решить, используя основное свойство пропорции (умножая крест-накрест):
$x(2x - 13) = (x + 6)(x - 6)$

Раскроем скобки. В левой части применим распределительный закон, в правой — формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$2x^2 - 13x = x^2 - 36$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приведем подобные, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$.
$2x^2 - x^2 - 13x + 36 = 0$
$x^2 - 13x + 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Оба найденных корня ($4$ и $9$) входят в область допустимых значений ($x \neq 6$ и $x \neq 0$), следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: 4; 9.

2) $\frac{3x^2 - 4x - 20}{x+2} = 2x - 5$

Найдем область допустимых значений, при которых знаменатель не равен нулю.

ОДЗ:
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

На ОДЗ умножим обе части уравнения на выражение $(x+2)$, чтобы избавиться от дроби.
$3x^2 - 4x - 20 = (2x - 5)(x + 2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$3x^2 - 4x - 20 = 2x^2 + 4x - 5x - 10$
$3x^2 - 4x - 20 = 2x^2 - x - 10$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
$3x^2 - 2x^2 - 4x + x - 20 + 10 = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Теперь проверим, принадлежат ли корни области допустимых значений ($x \neq -2$).
Корень $x_1 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель исходной дроби равен нулю. Следовательно, $x=-2$ — это посторонний корень.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 5.

787. Найдите корни уравнения:

1) $\frac{10}{x + 2} + \frac{9}{x} = 1;$

2) $\frac{48}{14 - x} - \frac{48}{14 + x} = 1;$

3) $\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x}{x - 2} = \frac{8}{x^2 - 4};$

4) $\frac{x - 1}{x + 3} + \frac{x + 1}{x - 3} = \frac{2x + 18}{x^2 - 9};$

5) $\frac{4x - 10}{x - 1} + \frac{x + 6}{x + 1} = 4;$

6) $\frac{1}{x} - \frac{10}{x^2 - 5x} = \frac{3 - x}{x - 5};$

7) $\frac{4x}{x^2 + 4x + 4} - \frac{x - 2}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x};$

8) $\frac{6}{x^2 - 36} - \frac{3}{x^2 - 6x} + \frac{x - 12}{x^2 + 6x} = 0;$

9) $\frac{x}{x + 7} + \frac{x + 7}{x - 7} = \frac{63 - 5x}{x^2 - 49};$

10) $\frac{4}{x^2 - 10x + 25} - \frac{1}{x + 5} = \frac{10}{x^2 - 25};$

1) Исходное уравнение: $\frac{10}{x+2} + \frac{9}{x} = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -2$ и $x \neq 0$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2)$: $\frac{10x}{x(x+2)} + \frac{9(x+2)}{x(x+2)} = 1$.
$10x + 9(x+2) = x(x+2)$ при условии, что $x(x+2) \neq 0$.
$10x + 9x + 18 = x^2 + 2x$.
$19x + 18 = x^2 + 2x$.
$x^2 + 2x - 19x - 18 = 0$.
$x^2 - 17x - 18 = 0$.
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $x_1 + x_2 = 17$, $x_1 \cdot x_2 = -18$. Корни уравнения: $x_1 = 18$, $x_2 = -1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $18; -1$.

2) Исходное уравнение: $\frac{48}{14-x} - \frac{48}{14+x} = 1$.
ОДЗ: $14-x \neq 0$ и $14+x \neq 0$, то есть $x \neq 14$ и $x \neq -14$.
Общий знаменатель: $(14-x)(14+x) = 196 - x^2$.
$48(14+x) - 48(14-x) = 1 \cdot (14-x)(14+x)$.
$48 \cdot 14 + 48x - 48 \cdot 14 + 48x = 196 - x^2$.
$96x = 196 - x^2$.
$x^2 + 96x - 196 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 96^2 - 4(1)(-196) = 9216 + 784 = 10000 = 100^2$.
$x_1 = \frac{-96 + 100}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-96 - 100}{2} = \frac{-196}{2} = -98$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $2; -98$.

3) Исходное уравнение: $\frac{x-1}{x+2} + \frac{x}{x-2} = \frac{8}{x^2-4}$.
Знаменатель $x^2-4$ раскладывается как $(x-2)(x+2)$.
ОДЗ: $x \neq -2$ и $x \neq 2$.
Общий знаменатель: $(x+2)(x-2)$.
$(x-1)(x-2) + x(x+2) = 8$.
$x^2 - 2x - x + 2 + x^2 + 2x = 8$.
$2x^2 - x + 2 = 8$.
$2x^2 - x - 6 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{1+7}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{1-7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$.
Проверяем корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1=2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$), следовательно, является посторонним. Корень $x_2=-1.5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-1.5$.

4) Исходное уравнение: $\frac{x-1}{x+3} + \frac{x+1}{x-3} = \frac{2x+18}{x^2-9}$.
Знаменатель $x^2-9$ раскладывается как $(x-3)(x+3)$.
ОДЗ: $x \neq -3$ и $x \neq 3$.
Общий знаменатель: $(x+3)(x-3)$.
$(x-1)(x-3) + (x+1)(x+3) = 2x+18$.
$x^2 - 3x - x + 3 + x^2 + 3x + x + 3 = 2x+18$.
$2x^2 + 6 = 2x + 18$.
$2x^2 - 2x - 12 = 0$.
Разделим обе части на 2: $x^2 - x - 6 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.
Корень $x_1=3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 3$), значит, это посторонний корень. Корень $x_2=-2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-2$.

5) Исходное уравнение: $\frac{4x-10}{x-1} + \frac{x+6}{x+1} = 4$.
ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Общий знаменатель: $(x-1)(x+1)$.
$(4x-10)(x+1) + (x+6)(x-1) = 4(x-1)(x+1)$.
$4x^2 + 4x - 10x - 10 + x^2 - x + 6x - 6 = 4(x^2 - 1)$.
$5x^2 - x - 16 = 4x^2 - 4$.
$x^2 - x - 12 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $4; -3$.

6) Исходное уравнение: $\frac{1}{x} - \frac{10}{x^2-5x} = \frac{3-x}{x-5}$.
Знаменатель $x^2-5x$ раскладывается как $x(x-5)$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 5$.
Общий знаменатель: $x(x-5)$.
$1(x-5) - 10 = (3-x)x$.
$x - 5 - 10 = 3x - x^2$.
$x - 15 = 3x - x^2$.
$x^2 - 2x - 15 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -3$.
Корень $x_1=5$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 5$), это посторонний корень. Корень $x_2=-3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-3$.

7) Исходное уравнение: $\frac{4x}{x^2+4x+4} - \frac{x-2}{x^2+2x} = \frac{1}{x}$.
Разложим знаменатели: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$, $x^2+2x = x(x+2)$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -2$.
Общий знаменатель: $x(x+2)^2$.
$4x \cdot x - (x-2)(x+2) = 1 \cdot (x+2)^2$.
$4x^2 - (x^2-4) = x^2 + 4x + 4$.
$3x^2 + 4 = x^2 + 4x + 4$.
$2x^2 - 4x = 0$.
$2x(x-2) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Корень $x_1=0$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$), это посторонний корень. Корень $x_2=2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $2$.

8) Исходное уравнение: $\frac{6}{x^2-36} - \frac{3}{x^2-6x} + \frac{x-12}{x^2+6x} = 0$.
Разложим знаменатели: $x^2-36=(x-6)(x+6)$, $x^2-6x=x(x-6)$, $x^2+6x=x(x+6)$.
ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 6$, $x \neq -6$.
Общий знаменатель: $x(x-6)(x+6)$.
$6x - 3(x+6) + (x-12)(x-6) = 0$.
$6x - 3x - 18 + x^2 - 6x - 12x + 72 = 0$.
$x^2 - 15x + 54 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 15$, $x_1 \cdot x_2 = 54$. Корни: $x_1 = 6$, $x_2 = 9$.
Корень $x_1=6$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 6$), это посторонний корень. Корень $x_2=9$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $9$.

9) Исходное уравнение: $\frac{x}{x+7} + \frac{x+7}{x-7} = \frac{63-5x}{x^2-49}$.
Знаменатель $x^2-49$ раскладывается как $(x-7)(x+7)$.
ОДЗ: $x \neq -7$ и $x \neq 7$.
Общий знаменатель: $(x+7)(x-7)$.
$x(x-7) + (x+7)(x+7) = 63 - 5x$.
$x^2 - 7x + x^2 + 14x + 49 = 63 - 5x$.
$2x^2 + 7x + 49 = 63 - 5x$.
$2x^2 + 12x - 14 = 0$.
$x^2 + 6x - 7 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -6$, $x_1 \cdot x_2 = -7$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -7$.
Корень $x_2=-7$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -7$), это посторонний корень. Корень $x_1=1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $1$.

10) Исходное уравнение: $\frac{4}{x^2-10x+25} - \frac{1}{x+5} = \frac{10}{x^2-25}$.
Разложим знаменатели: $x^2-10x+25 = (x-5)^2$, $x^2-25 = (x-5)(x+5)$.
ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -5$.
Общий знаменатель: $(x-5)^2(x+5)$.
$4(x+5) - 1(x-5)^2 = 10(x-5)$.
$4x + 20 - (x^2 - 10x + 25) = 10x - 50$.
$4x + 20 - x^2 + 10x - 25 = 10x - 50$.
$-x^2 + 14x - 5 = 10x - 50$.
$-x^2 + 4x + 45 = 0$.
$x^2 - 4x - 45 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = -45$. Корни: $x_1 = 9$, $x_2 = -5$.
Корень $x_2=-5$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -5$), это посторонний корень. Корень $x_1=9$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $9$.