Страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

760. При каком значении a разложение на линейные множители трёхчлена:

1) $2x^2 - 7x + a$ содержит множитель $(x - 4)$;

2) $4x^2 - ax + 6$ содержит множитель $(2x + 1)?

1) Если разложение трёхчлена $2x^2 - 7x + a$ на множители содержит множитель $(x - 4)$, это означает, что $x = 4$ является одним из корней квадратного уравнения $2x^2 - 7x + a = 0$. Согласно теореме Безу, если многочлен $P(x)$ имеет корень $k$, то многочлен делится на $(x-k)$ без остатка.
Подставим значение $x = 4$ в уравнение, чтобы найти соответствующее значение $a$:
$2(4)^2 - 7(4) + a = 0$
$2 \cdot 16 - 28 + a = 0$
$32 - 28 + a = 0$
$4 + a = 0$
$a = -4$
Ответ: $a = -4$.

2) Если разложение трёхчлена $4x^2 - ax + 6$ на множители содержит множитель $(2x + 1)$, это означает, что корень этого множителя является и корнем квадратного уравнения $4x^2 - ax + 6 = 0$.
Сначала найдём корень множителя $(2x + 1)$, приравняв его к нулю:
$2x + 1 = 0$
$2x = -1$
$x = -1/2$
Теперь подставим найденное значение $x = -1/2$ в трёхчлен и приравняем его к нулю, чтобы найти $a$:
$4(-1/2)^2 - a(-1/2) + 6 = 0$
$4(1/4) + a/2 + 6 = 0$
$1 + a/2 + 6 = 0$
$7 + a/2 = 0$
$a/2 = -7$
$a = -14$
Ответ: $a = -14$.

761. Упростите выражение:

1) $ \frac{9a^2 - 4}{2a^2 - 5a + 2} \cdot \frac{a - 2}{3a + 2} + \frac{a - 1}{1 - 2a}; $

2) $ \frac{b - 4}{b^3 - b} : \left( \frac{b - 1}{2b^2 + 3b + 1} - \frac{1}{b^2 - 1} \right); $

3) $ \left( \frac{c + 2}{c^2 - c - 6} - \frac{2c}{c^2 - 6c + 9} \right) : \frac{c^2 + 3c}{(2c - 6)^2}; $

4) $ \left( \frac{3}{m - 4} + \frac{2m}{m + 1} + \frac{4m - 6}{m^2 - 3m - 4} \right) \cdot \frac{4m - 16}{2m - 3}. $

1) $\frac{9a^2 - 4}{2a^2 - 5a + 2} \cdot \frac{a - 2}{3a + 2} + \frac{a - 1}{1 - 2a}$

Сначала разложим на множители числители и знаменатели дробей.

Числитель первой дроби: $9a^2 - 4 = (3a - 2)(3a + 2)$ (как разность квадратов).

Знаменатель первой дроби: $2a^2 - 5a + 2$. Найдем корни квадратного уравнения $2a^2 - 5a + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Корни: $a_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $a_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
Следовательно, $2a^2 - 5a + 2 = 2(a - \frac{1}{2})(a - 2) = (2a - 1)(a - 2)$.

Знаменатель последней дроби: $1 - 2a = -(2a - 1)$.

Подставим разложенные многочлены в исходное выражение и выполним действия по порядку.

1. Выполним умножение:
$\frac{(3a - 2)(3a + 2)}{(2a - 1)(a - 2)} \cdot \frac{a - 2}{3a + 2} = \frac{3a - 2}{2a - 1}$, сократив на $(3a+2)$ и $(a-2)$.

2. Выполним сложение, учитывая преобразованный знаменатель последней дроби:
$\frac{3a - 2}{2a - 1} + \frac{a - 1}{-(2a - 1)} = \frac{3a - 2}{2a - 1} - \frac{a - 1}{2a - 1}$

Приведем к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{(3a - 2) - (a - 1)}{2a - 1} = \frac{3a - 2 - a + 1}{2a - 1} = \frac{2a - 1}{2a - 1} = 1$.

Ответ: 1.

2) $\frac{b - 4}{b^3 - b} : \left( \frac{b - 1}{2b^2 + 3b + 1} - \frac{1}{b^2 - 1} \right)$

Разложим на множители знаменатели.

$b^3 - b = b(b^2 - 1) = b(b - 1)(b + 1)$.

$2b^2 + 3b + 1$. Найдем корни уравнения $2b^2 + 3b + 1 = 0$.
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 = 1^2$.
$b_1 = \frac{-3 - 1}{4} = -1$; $b_2 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}$.
$2b^2 + 3b + 1 = 2(b + 1)(b + \frac{1}{2}) = (b + 1)(2b + 1)$.

$b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$.

1. Выполним действие в скобках:
$\frac{b - 1}{(b + 1)(2b + 1)} - \frac{1}{(b - 1)(b + 1)}$

Общий знаменатель: $(b - 1)(b + 1)(2b + 1)$.

$\frac{(b - 1)(b - 1)}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)} - \frac{1 \cdot (2b + 1)}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)} = \frac{(b - 1)^2 - (2b + 1)}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{b^2 - 2b + 1 - 2b - 1}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)} = \frac{b^2 - 4b}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)} = \frac{b(b - 4)}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)}$.

2. Выполним деление. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:
$\frac{b - 4}{b(b - 1)(b + 1)} : \frac{b(b - 4)}{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)} = \frac{b - 4}{b(b - 1)(b + 1)} \cdot \frac{(b - 1)(b + 1)(2b + 1)}{b(b - 4)}$

Сократим общие множители $(b - 4)$, $(b - 1)$ и $(b + 1)$:

$\frac{1}{b} \cdot \frac{2b + 1}{b} = \frac{2b + 1}{b^2}$.

Ответ: $\frac{2b + 1}{b^2}$.

3) $\left( \frac{c + 2}{c^2 - c - 6} - \frac{2c}{c^2 - 6c + 9} \right) : \frac{c^2 + 3c}{(2c - 6)^2}$

Разложим на множители выражения в числителях и знаменателях.

$c^2 - c - 6$. Корни уравнения $c^2 - c - 6 = 0$ по теореме Виета $c_1 = 3, c_2 = -2$.
$c^2 - c - 6 = (c - 3)(c + 2)$.

$c^2 - 6c + 9 = (c - 3)^2$ (квадрат разности).

$c^2 + 3c = c(c + 3)$.

$(2c - 6)^2 = (2(c - 3))^2 = 4(c - 3)^2$.

1. Выполним действие в скобках:
$\frac{c + 2}{(c - 3)(c + 2)} - \frac{2c}{(c - 3)^2} = \frac{1}{c - 3} - \frac{2c}{(c - 3)^2}$

Приведем к общему знаменателю $(c - 3)^2$:

$\frac{1(c - 3)}{(c - 3)^2} - \frac{2c}{(c - 3)^2} = \frac{c - 3 - 2c}{(c - 3)^2} = \frac{-c - 3}{(c - 3)^2} = -\frac{c + 3}{(c - 3)^2}$.

2. Выполним деление:
$-\frac{c + 3}{(c - 3)^2} : \frac{c(c + 3)}{4(c - 3)^2} = -\frac{c + 3}{(c - 3)^2} \cdot \frac{4(c - 3)^2}{c(c + 3)}$

Сократим общие множители $(c + 3)$ и $(c - 3)^2$:

$-\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{c} = -\frac{4}{c}$.

Ответ: $-\frac{4}{c}$.

4) $\left( \frac{3}{m - 4} + \frac{2m}{m + 1} + \frac{4m - 6}{m^2 - 3m - 4} \right) \cdot \frac{4m - 16}{2m - 3}$

Разложим на множители знаменатель третьей дроби в скобках и числитель второй дроби.

$m^2 - 3m - 4$. Корни уравнения $m^2 - 3m - 4 = 0$ по теореме Виета $m_1 = 4, m_2 = -1$.
$m^2 - 3m - 4 = (m - 4)(m + 1)$.

$4m - 16 = 4(m - 4)$.

1. Выполним сложение в скобках. Общий знаменатель: $(m - 4)(m + 1)$.

$\frac{3(m + 1)}{(m - 4)(m + 1)} + \frac{2m(m - 4)}{(m - 4)(m + 1)} + \frac{4m - 6}{(m - 4)(m + 1)}$

Сложим числители:

$\frac{3(m + 1) + 2m(m - 4) + 4m - 6}{(m - 4)(m + 1)} = \frac{3m + 3 + 2m^2 - 8m + 4m - 6}{(m - 4)(m + 1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2m^2 - m - 3}{(m - 4)(m + 1)}$

Разложим на множители числитель $2m^2 - m - 3$. Найдем корни уравнения $2m^2 - m - 3 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
$m_1 = \frac{1 - 5}{4} = -1$; $m_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
$2m^2 - m - 3 = 2(m + 1)(m - \frac{3}{2}) = (m + 1)(2m - 3)$.

Выражение в скобках равно: $\frac{(m + 1)(2m - 3)}{(m - 4)(m + 1)} = \frac{2m - 3}{m - 4}$.

2. Выполним умножение:

$\frac{2m - 3}{m - 4} \cdot \frac{4(m - 4)}{2m - 3}$

Сократим общие множители $(2m - 3)$ и $(m - 4)$:

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{1} = 4$.

Ответ: 4.

762. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения не зависит от значения переменной:

1) $\frac{25a^2 - 36}{10a^2 - 9a + 2} : \frac{5a + 6}{5a - 2} + \frac{9a - 8}{1 - 2a};$

2) $\left(\frac{2a}{a + 3} + \frac{1}{a - 1} - \frac{4}{a^2 + 2a - 3}\right) : \frac{2a + 1}{a + 3}.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $a$, необходимо упростить его и показать, что в результате получится константа.

Исходное выражение: $\frac{25a^2 - 36}{10a^2 - 9a + 2} : \frac{5a+6}{5a-2} + \frac{9a-8}{1-2a}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Знаменатели дробей и делитель не должны быть равны нулю.

$10a^2 - 9a + 2 \neq 0$. Решим квадратное уравнение $10a^2 - 9a + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1$. Корни: $a_1 = \frac{9-1}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$, $a_2 = \frac{9+1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $10a^2 - 9a + 2 = 10(a - \frac{2}{5})(a - \frac{1}{2}) = (5a-2)(2a-1)$. Таким образом, $a \neq \frac{2}{5}$ и $a \neq \frac{1}{2}$.

$5a - 2 \neq 0 \implies a \neq \frac{2}{5}$.

$1 - 2a \neq 0 \implies a \neq \frac{1}{2}$.

Делитель $\frac{5a+6}{5a-2} \neq 0 \implies 5a+6 \neq 0 \implies a \neq -\frac{6}{5}$.

Итак, ОДЗ: $a$ - любое число, кроме $-\frac{6}{5}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}$.

Теперь выполним действия по порядку. Первое действие — деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{25a^2 - 36}{10a^2 - 9a + 2} : \frac{5a+6}{5a-2} = \frac{25a^2 - 36}{10a^2 - 9a + 2} \cdot \frac{5a-2}{5a+6}$

Разложим на множители числитель первой дроби по формуле разности квадратов: $25a^2 - 36 = (5a)^2 - 6^2 = (5a-6)(5a+6)$.

Знаменатель первой дроби мы уже разложили: $10a^2 - 9a + 2 = (5a-2)(2a-1)$.

Подставим разложенные выражения:

$\frac{(5a-6)(5a+6)}{(5a-2)(2a-1)} \cdot \frac{5a-2}{5a+6}$

Сократим общие множители $(5a+6)$ и $(5a-2)$:

$\frac{5a-6}{2a-1}$

Второе действие — сложение.

$\frac{5a-6}{2a-1} + \frac{9a-8}{1-2a}$

Заметим, что $1-2a = -(2a-1)$. Преобразуем вторую дробь:

$\frac{5a-6}{2a-1} - \frac{9a-8}{2a-1}$

Теперь дроби имеют одинаковый знаменатель, можем их вычесть:

$\frac{(5a-6) - (9a-8)}{2a-1} = \frac{5a-6-9a+8}{2a-1} = \frac{-4a+2}{2a-1}$

Вынесем в числителе общий множитель -2 за скобки:

$\frac{-2(2a-1)}{2a-1}$

Сократим дробь на $(2a-1)$:

$-2$

Результат упрощения выражения — число -2, которое не зависит от значения переменной $a$. Это и требовалось доказать.

Ответ: -2

2) Упростим данное выражение, чтобы доказать, что его значение не зависит от переменной $a$.

Исходное выражение: $(\frac{2a}{a+3} + \frac{1}{a-1} - \frac{4}{a^2+2a-3}) : \frac{2a+1}{a+3}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю, и делитель не должен быть равен нулю.

$a+3 \neq 0 \implies a \neq -3$.

$a-1 \neq 0 \implies a \neq 1$.

$a^2+2a-3 \neq 0$. Разложим на множители: $a^2+2a-3 = (a+3)(a-1)$. Таким образом, ограничения те же: $a \neq -3$ и $a \neq 1$.

Делитель $\frac{2a+1}{a+3} \neq 0 \implies 2a+1 \neq 0 \implies a \neq -\frac{1}{2}$.

Итак, ОДЗ: $a$ - любое число, кроме $-3, -\frac{1}{2}, 1$.

Выполним сначала действия в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это $(a+3)(a-1)$.

$\frac{2a}{a+3} + \frac{1}{a-1} - \frac{4}{(a+3)(a-1)} = \frac{2a(a-1)}{(a+3)(a-1)} + \frac{1(a+3)}{(a+3)(a-1)} - \frac{4}{(a+3)(a-1)}$

Объединим дроби под общим знаменателем:

$\frac{2a(a-1) + (a+3) - 4}{(a+3)(a-1)} = \frac{2a^2-2a+a+3-4}{(a+3)(a-1)} = \frac{2a^2-a-1}{(a+3)(a-1)}$

Разложим на множители числитель $2a^2-a-1$. Решим уравнение $2a^2-a-1=0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1+8 = 9$. Корни: $a_1 = \frac{1-\sqrt{9}}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$, $a_2 = \frac{1+\sqrt{9}}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Тогда $2a^2-a-1 = 2(a - (-\frac{1}{2}))(a-1) = 2(a+\frac{1}{2})(a-1) = (2a+1)(a-1)$.

Подставим разложение в числитель дроби:

$\frac{(2a+1)(a-1)}{(a+3)(a-1)}$

Сократим общий множитель $(a-1)$:

$\frac{2a+1}{a+3}$

Теперь выполним деление:

$(\frac{2a+1}{a+3}) : \frac{2a+1}{a+3}$

Так как в ОДЗ $a \neq -\frac{1}{2}$ и $a \neq -3$, делимое и делитель не равны нулю. Деление выражения на само себя дает 1.

$1$

Результат упрощения выражения — число 1, которое не зависит от значения переменной $a$. Это и требовалось доказать.

Ответ: 1

763. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 1};$

2) $y = \frac{3x^2 - 10x + 3}{x - 3} - \frac{x^2 - 4}{x + 2}.$

1) $y = \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 1}$

Для построения графика функции сначала найдем ее область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x - 1 \neq 0$

$x \neq 1$

Область определения функции (ОДЗ): $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции. Разложим числитель $x^2 - 6x + 5$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Следовательно, $x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$.

Подставим разложение в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 1)(x - 5)}{x - 1}$

При условии, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:

$y = x - 5$

Графиком функции $y = x - 5$ является прямая линия. Однако, из-за ограничения $x \neq 1$, точка на этой прямой с абсциссой $x = 1$ должна быть исключена ("выколота").

Найдем ординату этой точки:

$y(1) = 1 - 5 = -4$

Таким образом, точка $(1; -4)$ не принадлежит графику функции.

Для построения прямой $y = x - 5$ найдем две любые точки, например:

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 5 = -5$. Точка $(0; -5)$.
• Если $x = 5$, то $y = 5 - 5 = 0$. Точка $(5; 0)$.

Проводим прямую через эти две точки и отмечаем на ней выколотую точку $(1; -4)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 5$ с выколотой точкой $(1; -4)$.

2) $y = \frac{3x^2 - 10x + 3}{x - 3} - \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

Найдем область определения функции. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Область определения функции (ОДЗ): $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 3) \cup (3; +\infty)$.

Упростим каждое слагаемое в выражении для функции.

Для первой дроби $\frac{3x^2 - 10x + 3}{x - 3}$ разложим числитель на множители. Решим уравнение $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$.

$x_1 = \frac{18}{6} = 3$; $x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Значит, $3x^2 - 10x + 3 = 3(x - 3)(x - \frac{1}{3}) = (x - 3)(3x - 1)$.

При $x \neq 3$, первая дробь равна: $\frac{(x - 3)(3x - 1)}{x - 3} = 3x - 1$.

Для второй дроби $\frac{x^2 - 4}{x + 2}$ используем формулу разности квадратов в числителе: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

При $x \neq -2$, вторая дробь равна: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = x - 2$.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходную функцию:

$y = (3x - 1) - (x - 2) = 3x - 1 - x + 2 = 2x + 1$

Итак, при $x \neq 3$ и $x \neq -2$ функция имеет вид $y = 2x + 1$. Графиком этой функции является прямая линия. На этой прямой нужно выколоть точки с абсциссами $x = 3$ и $x = -2$.

Найдем ординаты выколотых точек:

• При $x = 3$: $y = 2(3) + 1 = 7$. Выколотая точка $(3; 7)$.
• При $x = -2$: $y = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$. Выколотая точка $(-2; -3)$.

Для построения прямой $y = 2x + 1$ найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 2(0) + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 2(1) + 1 = 3$. Точка $(1; 3)$.

Проводим прямую через эти точки и отмечаем на ней выколотые точки $(3; 7)$ и $(-2; -3)$ пустыми кружками.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 2x + 1$ с выколотыми точками $(3; 7)$ и $(-2; -3)$.

764. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$;

2) $y = \frac{x^2 - x - 2}{x + 1} - \frac{x^2 - x - 30}{x + 5}$.

1) $y = \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$

Сначала определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x - 4 \neq 0$

$x \neq 4$

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции. Для этого разложим числитель $x^2 - 2x - 8$ на множители. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$.

Используя теорему Виета, получаем:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Отсюда находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, числитель можно представить в виде произведения $(x - 4)(x + 2)$.

Подставим разложение в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 4)(x + 2)}{x - 4}$

Так как из области определения мы знаем, что $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на множитель $(x - 4)$:

$y = x + 2$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = x + 2$ за исключением одной точки. Эта точка — та, в которой знаменатель исходной дроби обращается в ноль, то есть точка с абсциссой $x = 4$.

Найдем ординату этой "выколотой" точки, подставив $x = 4$ в упрощенное уравнение прямой:

$y = 4 + 2 = 6$

Значит, точка $(4; 6)$ не принадлежит графику функции. На графике она будет изображена в виде пустого кружка.

Для построения прямой $y = x + 2$ достаточно двух точек. Например:

Если $x = 0$, то $y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.

Если $x = -2$, то $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2; 0)$.

Строим прямую, проходящую через точки $(0; 2)$ и $(-2; 0)$, и отмечаем на ней выколотую точку $(4; 6)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(4; 6)$.

2) $y = \frac{x^2 - x - 2}{x + 1} - \frac{x^2 - x - 30}{x + 5}$

Найдем область определения функции. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

$x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$

Область определения: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Упростим каждую дробь в выражении. Для этого разложим их числители на множители.

Рассмотрим первую дробь $ \frac{x^2 - x - 2}{x + 1} $. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Тогда $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.

Следовательно, при $x \neq -1$ имеем: $\frac{x^2 - x - 2}{x + 1} = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x + 1} = x - 2$.

Рассмотрим вторую дробь $ \frac{x^2 - x - 30}{x + 5} $. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 30 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -30$. Корни: $x_1 = 6$, $x_2 = -5$.

Тогда $x^2 - x - 30 = (x - 6)(x + 5)$.

Следовательно, при $x \neq -5$ имеем: $\frac{x^2 - x - 30}{x + 5} = \frac{(x - 6)(x + 5)}{x + 5} = x - 6$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходную функцию:

$y = (x - 2) - (x - 6)$

Раскроем скобки:

$y = x - 2 - x + 6$

$y = 4$

Получили, что на всей области определения функция тождественно равна 4. Графиком функции $y = 4$ является горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0; 4)$.

Однако, из-за ограничений области определения ($x \neq -1$ и $x \neq -5$), на этой прямой будут две выколотые точки.

Найдем координаты этих точек:

При $x = -1$, ордината $y=4$. Выколотая точка $(-1; 4)$.

При $x = -5$, ордината $y=4$. Выколотая точка $(-5; 4)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 4$ с выколотыми точками $(-1; 4)$ и $(-5; 4)$.

765. Разложите на множители многочлен:

1) $x^2 - 6xy + 5y^2;$

2) $a^2 + 5ab - 36b^2;$

3) $3m^2 - 8mn - 3n^2;$

4) $4x^2 - 5xy + y^2.$

1) $x^2 - 6xy + 5y^2$

Для разложения этого многочлена на множители, представим его как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. Мы можем разложить средний член $-6xy$ на два слагаемых так, чтобы можно было применить метод группировки. Для этого нужно найти два числа, сумма которых равна $-6$, а произведение — $5$. Эти числа — $-1$ и $-5$.

Представим $-6xy$ как $-xy - 5xy$:

$x^2 - 6xy + 5y^2 = x^2 - xy - 5xy + 5y^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 - xy) + (-5xy + 5y^2)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$x(x - y) - 5y(x - y)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(x - 5y)$

Ответ: $(x - y)(x - 5y)$

2) $a^2 + 5ab - 36b^2$

Рассмотрим многочлен как квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Чтобы разложить его на множители методом группировки, представим средний член $5ab$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого найдем два числа, произведение которых равно коэффициенту свободного члена (в данном случае $-36$), а сумма равна коэффициенту при среднем члене (в данном случае $5$). Эти числа — $9$ и $-4$, так как $9 \cdot (-4) = -36$ и $9 + (-4) = 5$.

Представим $5ab$ как $9ab - 4ab$:

$a^2 + 5ab - 36b^2 = a^2 + 9ab - 4ab - 36b^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(a^2 + 9ab) - (4ab + 36b^2)$

Вынесем общие множители за скобки из каждой группы:

$a(a + 9b) - 4b(a + 9b)$

Вынесем общий множитель $(a + 9b)$:

$(a + 9b)(a - 4b)$

Ответ: $(a + 9b)(a - 4b)$

3) $3m^2 - 8mn - 3n^2$

Для разложения этого многочлена используем метод группировки. Умножим коэффициент при $m^2$ на коэффициент при $n^2$: $3 \cdot (-3) = -9$. Теперь найдем два числа, произведение которых равно $-9$, а сумма равна коэффициенту при $mn$, то есть $-8$. Эти числа — $1$ и $-9$, так как $1 \cdot (-9) = -9$ и $1 + (-9) = -8$.

Разобьем средний член $-8mn$ на два слагаемых: $mn - 9mn$.

$3m^2 - 8mn - 3n^2 = 3m^2 + mn - 9mn - 3n^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(3m^2 + mn) - (9mn + 3n^2)$

Вынесем общие множители:

$m(3m + n) - 3n(3m + n)$

Вынесем общий множитель $(3m + n)$:

$(3m + n)(m - 3n)$

Ответ: $(3m + n)(m - 3n)$

4) $4x^2 - 5xy + y^2$

Разложим многочлен на множители, представив его как квадратный трехчлен. Применим метод группировки. Умножим коэффициент при $x^2$ на коэффициент при $y^2$: $4 \cdot 1 = 4$. Нам нужно найти два числа, произведение которых равно $4$, а сумма — коэффициенту при $xy$, то есть $-5$. Эти числа — $-1$ и $-4$, так как $(-1) \cdot (-4) = 4$ и $(-1) + (-4) = -5$.

Представим средний член $-5xy$ как $-xy - 4xy$:

$4x^2 - 5xy + y^2 = 4x^2 - xy - 4xy + y^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(4x^2 - xy) + (-4xy + y^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(4x - y) - y(4x - y)$

Вынесем общий множитель $(4x - y)$:

$(4x - y)(x - y)$

Ответ: $(4x - y)(x - y)$

766. Разложите на множители многочлен:

1) $a^2 - 14ab + 40b^2$;

2) $12b^2 + bc - 6c^2$.

1) $a^2 - 14ab + 40b^2$

Для разложения данного многочлена на множители, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Требуется найти два выражения, которые в сумме дают $-14ab$, а в произведении $40a^2b^2$. Однако проще представить средний член $-14ab$ в виде суммы двух других членов так, чтобы можно было применить метод группировки.

Ищем два числа, произведение которых равно коэффициенту при $b^2$ (40), а сумма равна коэффициенту при $ab$ (-14). По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 - 14x + 40 = 0$ корнями являются числа, сумма которых равна 14, а произведение 40. Такими числами являются 4 и 10.

Следовательно, мы можем разложить средний член $-14ab$ на два слагаемых: $-4ab$ и $-10ab$.

$a^2 - 14ab + 40b^2 = a^2 - 4ab - 10ab + 40b^2$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$(a^2 - 4ab) + (-10ab + 40b^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(a - 4b) - 10b(a - 4b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - 4b)$ за скобки:

$(a - 4b)(a - 10b)$

Ответ: $(a - 4b)(a - 10b)$

2) $12b^2 + bc - 6c^2$

Этот многочлен является квадратным трехчленом относительно переменной $b$. Для его разложения на множители воспользуемся методом группировки. Для этого необходимо найти два числа, произведение которых равно произведению коэффициента при $b^2$ (12) и свободного члена ($-6c^2$), то есть $12 \cdot (-6c^2) = -72c^2$, а их сумма равна коэффициенту при среднем члене $bc$, то есть $c$.

Ищем два одночлена, произведение которых равно $-72c^2$, а сумма равна $c$. Такими одночленами являются $9c$ и $-8c$.

Действительно, $9c \cdot (-8c) = -72c^2$ и $9c + (-8c) = c$.

Теперь представим средний член $bc$ в виде суммы $9bc - 8bc$:

$12b^2 + bc - 6c^2 = 12b^2 + 9bc - 8bc - 6c^2$

Сгруппируем слагаемые:

$(12b^2 + 9bc) - (8bc + 6c^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$3b(4b + 3c) - 2c(4b + 3c)$

Теперь вынесем общий множитель $(4b + 3c)$ за скобки:

$(4b + 3c)(3b - 2c)$

Ответ: $(4b + 3c)(3b - 2c)$

767. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $(a^2 - a - 6)x = a^2 - 9$;

2) $(a^2 - 8a + 7)x = 2a^2 - 13a - 7$.

1)

Данное уравнение является линейным уравнением относительно переменной $x$ вида $kx = b$, где коэффициент $k = a^2 - a - 6$ и свободный член $b = a^2 - 9$. Решение уравнения зависит от значения коэффициента $k$.

Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю:

$a^2 - a - 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корнями являются $a_1 = 3$ и $a_2 = -2$.

Теперь необходимо рассмотреть два этих значения параметра $a$ отдельно.

Случай 1: $a = 3$

Подставим $a = 3$ в исходное уравнение:

$(3^2 - 3 - 6)x = 3^2 - 9$

$(9 - 3 - 6)x = 9 - 9$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого действительного значения $x$. Следовательно, при $a = 3$ уравнение имеет бесконечно много решений.

Случай 2: $a = -2$

Подставим $a = -2$ в исходное уравнение:

$((-2)^2 - (-2) - 6)x = (-2)^2 - 9$

$(4 + 2 - 6)x = 4 - 9$

$0 \cdot x = -5$

Это равенство неверно ни при каком значении $x$. Следовательно, при $a = -2$ уравнение не имеет решений.

Случай 3: $a^2 - a - 6 \neq 0$

Этот случай имеет место, когда $a \neq 3$ и $a \neq -2$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$:

$x = \frac{a^2 - 9}{a^2 - a - 6}$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$

$a^2 - a - 6 = (a - 3)(a + 2)$

Подставим разложения в выражение для $x$:

$x = \frac{(a - 3)(a + 3)}{(a - 3)(a + 2)}$

Поскольку $a \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(a-3)$:

$x = \frac{a + 3}{a + 2}$

Это единственное решение уравнения для всех $a$, кроме 3 и -2.

Ответ: если $a = 3$, то $x$ — любое действительное число; если $a = -2$, то уравнение не имеет решений; если $a \neq 3$ и $a \neq -2$, то $x = \frac{a + 3}{a + 2}$.

2)

Данное уравнение является линейным уравнением относительно переменной $x$ вида $kx = b$, где коэффициент $k = a^2 - 8a + 7$ и свободный член $b = 2a^2 - 13a - 7$. Решение уравнения зависит от значения коэффициента $k$.

Рассмотрим случай, когда коэффициент при $x$ равен нулю:

$a^2 - 8a + 7 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 8, а произведение равно 7. Корнями являются $a_1 = 1$ и $a_2 = 7$.

Теперь необходимо рассмотреть два этих значения параметра $a$ отдельно.

Случай 1: $a = 7$

Подставим $a = 7$ в исходное уравнение:

$(7^2 - 8 \cdot 7 + 7)x = 2 \cdot 7^2 - 13 \cdot 7 - 7$

$(49 - 56 + 7)x = 2 \cdot 49 - 91 - 7$

$0 \cdot x = 98 - 91 - 7$

$0 \cdot x = 0$

Это равенство верно для любого действительного значения $x$. Следовательно, при $a = 7$ уравнение имеет бесконечно много решений.

Случай 2: $a = 1$

Подставим $a = 1$ в исходное уравнение:

$(1^2 - 8 \cdot 1 + 7)x = 2 \cdot 1^2 - 13 \cdot 1 - 7$

$(1 - 8 + 7)x = 2 - 13 - 7$

$0 \cdot x = -18$

Это равенство неверно ни при каком значении $x$. Следовательно, при $a = 1$ уравнение не имеет решений.

Случай 3: $a^2 - 8a + 7 \neq 0$

Этот случай имеет место, когда $a \neq 1$ и $a \neq 7$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$:

$x = \frac{2a^2 - 13a - 7}{a^2 - 8a + 7}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Для знаменателя: $a^2 - 8a + 7 = (a - 1)(a - 7)$.

Для числителя $2a^2 - 13a - 7$ найдем корни уравнения $2a^2 - 13a - 7 = 0$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$

$a = \frac{13 \pm 15}{4}$, откуда $a_1 = \frac{28}{4} = 7$ и $a_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Следовательно, $2a^2 - 13a - 7 = 2(a-7)(a + \frac{1}{2}) = (a-7)(2a+1)$.

Подставим разложения в выражение для $x$:

$x = \frac{(a-7)(2a+1)}{(a-1)(a-7)}$

Поскольку $a \neq 7$, мы можем сократить дробь на $(a-7)$:

$x = \frac{2a+1}{a-1}$

Это единственное решение уравнения для всех $a$, кроме 1 и 7.

Ответ: если $a = 7$, то $x$ — любое действительное число; если $a = 1$, то уравнение не имеет решений; если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, то $x = \frac{2a+1}{a-1}$.

768. Для каждого значения $a$ решите уравнение $(a^2 + 7a - 8)x = a^2 + 16a + 64$.

Данное уравнение $(a^2 + 7a - 8)x = a^2 + 16a + 64$ является линейным относительно переменной $x$. Решение зависит от значения параметра $a$. Для решения проанализируем коэффициент при $x$ и правую часть уравнения.

Разложим на множители выражения в левой и правой частях уравнения.

Коэффициент при $x$: $a^2 + 7a - 8$. Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение $a^2 + 7a - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а произведение равно $-8$. Следовательно, корни это $a_1=1$ и $a_2=-8$. Тогда разложение на множители имеет вид: $a^2 + 7a - 8 = (a-1)(a+8)$.

Правая часть уравнения: $a^2 + 16a + 64$. Это выражение является полным квадратом суммы: $a^2 + 2 \cdot a \cdot 8 + 8^2 = (a+8)^2$.

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$(a-1)(a+8)x = (a+8)^2$

Далее рассмотрим три возможных случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a \neq 1$ и $a \neq -8$

В этом случае коэффициент при $x$, равный $(a-1)(a+8)$, не равен нулю. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Чтобы найти его, разделим обе части уравнения на $(a-1)(a+8)$:

$x = \frac{(a+8)^2}{(a-1)(a+8)}$

Поскольку $a \neq -8$, то множитель $(a+8)$ не равен нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$x = \frac{a+8}{a-1}$

Ответ: если $a \neq 1$ и $a \neq -8$, то $x = \frac{a+8}{a-1}$.

Случай 2: $a = 1$

Подставим значение $a=1$ в преобразованное уравнение $(a-1)(a+8)x = (a+8)^2$:

$(1-1)(1+8)x = (1+8)^2$

$0 \cdot 9 \cdot x = 9^2$

$0 \cdot x = 81$

Получилось равенство $0 = 81$, которое является неверным. Следовательно, при $a=1$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = 1$, то корней нет.

Случай 3: $a = -8$

Подставим значение $a=-8$ в преобразованное уравнение $(a-1)(a+8)x = (a+8)^2$:

$(-8-1)(-8+8)x = (-8+8)^2$

$-9 \cdot 0 \cdot x = 0^2$

$0 \cdot x = 0$

Получилось равенство $0 = 0$, которое является верным для любого значения переменной $x$.

Ответ: если $a = -8$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

769. Сократите дробь:

1) $\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$;

2) $\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{10}-5\sqrt{2}}$;

3) $\frac{2-\sqrt{6}}{\sqrt{6}-3}$;

4) $\frac{4a-2}{2\sqrt{a}+\sqrt{2}}$;

5) $\frac{9a-b^2}{9a+6b\sqrt{a}+b^2}$;

6) $\frac{a\sqrt{a}-8}{a+2\sqrt{a}+4}$.

Чтобы сократить дробь, представим в числителе число $3$ как $(\sqrt{3})^2$ и вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки. Затем сократим дробь на $\sqrt{3}$.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$.

Для сокращения дроби разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки $\sqrt{5}$. В знаменателе сначала вынесем за скобки $\sqrt{2}$.

$\frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{10} - 5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2}(\sqrt{5} - 5)}$

Далее, в знаменателе из выражения $(\sqrt{5} - 5)$ вынесем за скобки $\sqrt{5}$: $\sqrt{5}(1 - \sqrt{5})$. Учитывая, что $\sqrt{5} - 1 = -(1 - \sqrt{5})$, получаем:

$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{2}\sqrt{5}(1 - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{5}(-(1 - \sqrt{5}))}{\sqrt{10}(1 - \sqrt{5})} = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$-\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель, вынеся за скобки $\sqrt{2}$ в числителе и $\sqrt{3}$ в знаменателе.

$\frac{2 - \sqrt{6}}{\sqrt{6} - 3} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{2} - \sqrt{3})}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{2} - \sqrt{3})$ и избавимся от иррациональности в знаменателе.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

В числителе применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, представив $4a$ как $(2\sqrt{a})^2$ и $2$ как $(\sqrt{2})^2$.

$\frac{4a - 2}{2\sqrt{a} + \sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{a})^2 - (\sqrt{2})^2}{2\sqrt{a} + \sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{a} - \sqrt{2})(2\sqrt{a} + \sqrt{2})}{2\sqrt{a} + \sqrt{2}}$

Сократив дробь на общий множитель $(2\sqrt{a} + \sqrt{2})$, получим:

$2\sqrt{a} - \sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{a} - \sqrt{2}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, а знаменатель свернем по формуле квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$. В данном случае $x=3\sqrt{a}$ и $y=b$.

$\frac{9a - b^2}{9a + 6b\sqrt{a} + b^2} = \frac{(3\sqrt{a})^2 - b^2}{(3\sqrt{a})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{a} \cdot b + b^2} = \frac{(3\sqrt{a} - b)(3\sqrt{a} + b)}{(3\sqrt{a} + b)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(3\sqrt{a} + b)$.

$\frac{3\sqrt{a} - b}{3\sqrt{a} + b}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{a} - b}{3\sqrt{a} + b}$.

В числителе применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, представив $a\sqrt{a}$ как $(\sqrt{a})^3$ и $8$ как $2^3$.

$\frac{a\sqrt{a} - 8}{a + 2\sqrt{a} + 4} = \frac{(\sqrt{a})^3 - 2^3}{a + 2\sqrt{a} + 4} = \frac{(\sqrt{a} - 2)((\sqrt{a})^2 + \sqrt{a} \cdot 2 + 2^2)}{a + 2\sqrt{a} + 4} = \frac{(\sqrt{a} - 2)(a + 2\sqrt{a} + 4)}{a + 2\sqrt{a} + 4}$

Сократим дробь на общий множитель $(a + 2\sqrt{a} + 4)$.

$\sqrt{a} - 2$

Ответ: $\sqrt{a} - 2$.