Номер 762, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 762, страница 186.

Условие.

762. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения не зависит от значения переменной:

1) $\frac{25a^2 - 36}{10a^2 - 9a + 2} : \frac{5a + 6}{5a - 2} + \frac{9a - 8}{1 - 2a};$

2) $\left(\frac{2a}{a + 3} + \frac{1}{a - 1} - \frac{4}{a^2 + 2a - 3}\right) : \frac{2a + 1}{a + 3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $a$, необходимо упростить его и показать, что в результате получится константа.

Исходное выражение: $\frac{25a^2 - 36}{10a^2 - 9a + 2} : \frac{5a+6}{5a-2} + \frac{9a-8}{1-2a}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Знаменатели дробей и делитель не должны быть равны нулю.

$10a^2 - 9a + 2 \neq 0$. Решим квадратное уравнение $10a^2 - 9a + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1$. Корни: $a_1 = \frac{9-1}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$, $a_2 = \frac{9+1}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $10a^2 - 9a + 2 = 10(a - \frac{2}{5})(a - \frac{1}{2}) = (5a-2)(2a-1)$. Таким образом, $a \neq \frac{2}{5}$ и $a \neq \frac{1}{2}$.

$5a - 2 \neq 0 \implies a \neq \frac{2}{5}$.

$1 - 2a \neq 0 \implies a \neq \frac{1}{2}$.

Делитель $\frac{5a+6}{5a-2} \neq 0 \implies 5a+6 \neq 0 \implies a \neq -\frac{6}{5}$.

Итак, ОДЗ: $a$ - любое число, кроме $-\frac{6}{5}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}$.

Теперь выполним действия по порядку. Первое действие — деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{25a^2 - 36}{10a^2 - 9a + 2} : \frac{5a+6}{5a-2} = \frac{25a^2 - 36}{10a^2 - 9a + 2} \cdot \frac{5a-2}{5a+6}$

Разложим на множители числитель первой дроби по формуле разности квадратов: $25a^2 - 36 = (5a)^2 - 6^2 = (5a-6)(5a+6)$.

Знаменатель первой дроби мы уже разложили: $10a^2 - 9a + 2 = (5a-2)(2a-1)$.

Подставим разложенные выражения:

$\frac{(5a-6)(5a+6)}{(5a-2)(2a-1)} \cdot \frac{5a-2}{5a+6}$

Сократим общие множители $(5a+6)$ и $(5a-2)$:

$\frac{5a-6}{2a-1}$

Второе действие — сложение.

$\frac{5a-6}{2a-1} + \frac{9a-8}{1-2a}$

Заметим, что $1-2a = -(2a-1)$. Преобразуем вторую дробь:

$\frac{5a-6}{2a-1} - \frac{9a-8}{2a-1}$

Теперь дроби имеют одинаковый знаменатель, можем их вычесть:

$\frac{(5a-6) - (9a-8)}{2a-1} = \frac{5a-6-9a+8}{2a-1} = \frac{-4a+2}{2a-1}$

Вынесем в числителе общий множитель -2 за скобки:

$\frac{-2(2a-1)}{2a-1}$

Сократим дробь на $(2a-1)$:

$-2$

Результат упрощения выражения — число -2, которое не зависит от значения переменной $a$. Это и требовалось доказать.

Ответ: -2

---

2) Упростим данное выражение, чтобы доказать, что его значение не зависит от переменной $a$.

Исходное выражение: $(\frac{2a}{a+3} + \frac{1}{a-1} - \frac{4}{a^2+2a-3}) : \frac{2a+1}{a+3}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю, и делитель не должен быть равен нулю.

$a+3 \neq 0 \implies a \neq -3$.

$a-1 \neq 0 \implies a \neq 1$.

$a^2+2a-3 \neq 0$. Разложим на множители: $a^2+2a-3 = (a+3)(a-1)$. Таким образом, ограничения те же: $a \neq -3$ и $a \neq 1$.

Делитель $\frac{2a+1}{a+3} \neq 0 \implies 2a+1 \neq 0 \implies a \neq -\frac{1}{2}$.

Итак, ОДЗ: $a$ - любое число, кроме $-3, -\frac{1}{2}, 1$.

Выполним сначала действия в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это $(a+3)(a-1)$.

$\frac{2a}{a+3} + \frac{1}{a-1} - \frac{4}{(a+3)(a-1)} = \frac{2a(a-1)}{(a+3)(a-1)} + \frac{1(a+3)}{(a+3)(a-1)} - \frac{4}{(a+3)(a-1)}$

Объединим дроби под общим знаменателем:

$\frac{2a(a-1) + (a+3) - 4}{(a+3)(a-1)} = \frac{2a^2-2a+a+3-4}{(a+3)(a-1)} = \frac{2a^2-a-1}{(a+3)(a-1)}$

Разложим на множители числитель $2a^2-a-1$. Решим уравнение $2a^2-a-1=0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1+8 = 9$. Корни: $a_1 = \frac{1-\sqrt{9}}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$, $a_2 = \frac{1+\sqrt{9}}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Тогда $2a^2-a-1 = 2(a - (-\frac{1}{2}))(a-1) = 2(a+\frac{1}{2})(a-1) = (2a+1)(a-1)$.

Подставим разложение в числитель дроби:

$\frac{(2a+1)(a-1)}{(a+3)(a-1)}$

Сократим общий множитель $(a-1)$:

$\frac{2a+1}{a+3}$

Теперь выполним деление:

$(\frac{2a+1}{a+3}) : \frac{2a+1}{a+3}$

Так как в ОДЗ $a \neq -\frac{1}{2}$ и $a \neq -3$, делимое и делитель не равны нулю. Деление выражения на само себя дает 1.

$1$

Результат упрощения выражения — число 1, которое не зависит от значения переменной $a$. Это и требовалось доказать.

Ответ: 1