Номер 757, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Упражнения - номер 757, страница 185.

Условие.

757. Сократите дробь:

1) $\frac{4a^2 - 9}{2a^2 - 9a - 18}$;

2) $\frac{2b^2 - 7b + 3}{4b^2 - 4b + 1}$;

3) $\frac{c^2 - 5c - 6}{c^2 - 8c + 12}$;

4) $\frac{m^3 - 1}{m^2 + 9m - 10}$;

5) $\frac{x^2 - 16}{32 - 4x - x^2}$;

6) $\frac{4n^2 - 9n + 2}{2 + 9n - 5n^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для сокращения дроби $\frac{4a^2 - 9}{2a^2 - 9a - 18}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель представляет собой разность квадратов: $4a^2 - 9 = (2a)^2 - 3^2 = (2a - 3)(2a + 3)$.

Знаменатель является квадратным трехчленом $2a^2 - 9a - 18$. Для его разложения на множители найдем корни уравнения $2a^2 - 9a - 18 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
Найдем корни: $a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$;
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Таким образом, разложение трехчлена имеет вид: $2a^2 - 9a - 18 = 2(a - 6)(a - (-\frac{3}{2})) = 2(a - 6)(a + \frac{3}{2}) = (a - 6)(2a + 3)$.

Теперь подставим разложения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{(2a - 3)(2a + 3)}{(a - 6)(2a + 3)} = \frac{2a - 3}{a - 6}$.

Ответ: $\frac{2a - 3}{a - 6}$.

2) Для сокращения дроби $\frac{2b^2 - 7b + 3}{4b^2 - 4b + 1}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $2b^2 - 7b + 3$. Найдем корни уравнения $2b^2 - 7b + 3 = 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $b_1 = \frac{7 + 5}{4} = 3$; $b_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}$.
Разложение: $2b^2 - 7b + 3 = 2(b - 3)(b - \frac{1}{2}) = (b - 3)(2b - 1)$.

Знаменатель: $4b^2 - 4b + 1$. Это полный квадрат разности: $(2b)^2 - 2 \cdot 2b \cdot 1 + 1^2 = (2b - 1)^2$.

Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(b - 3)(2b - 1)}{(2b - 1)^2} = \frac{b - 3}{2b - 1}$.

Ответ: $\frac{b - 3}{2b - 1}$.

3) Для сокращения дроби $\frac{c^2 - 5c - 6}{c^2 - 8c + 12}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $c^2 - 5c - 6$. Используя теорему Виета, найдем корни: $c_1 + c_2 = 5$, $c_1 \cdot c_2 = -6$. Корнями являются числа 6 и -1.
Следовательно, $c^2 - 5c - 6 = (c - 6)(c - (-1)) = (c - 6)(c + 1)$.

Знаменатель: $c^2 - 8c + 12$. Используя теорему Виета, найдем корни: $c_1 + c_2 = 8$, $c_1 \cdot c_2 = 12$. Корнями являются числа 6 и 2.
Следовательно, $c^2 - 8c + 12 = (c - 6)(c - 2)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(c - 6)(c + 1)}{(c - 6)(c - 2)} = \frac{c + 1}{c - 2}$.

Ответ: $\frac{c + 1}{c - 2}$.

4) Для сокращения дроби $\frac{m^3 - 1}{m^2 + 9m - 10}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель является разностью кубов: $m^3 - 1 = (m - 1)(m^2 + m + 1)$.

Знаменатель: $m^2 + 9m - 10$. По теореме Виета, корни $m_1, m_2$ удовлетворяют условиям $m_1 + m_2 = -9$ и $m_1 \cdot m_2 = -10$. Корнями являются 1 и -10.
Следовательно, $m^2 + 9m - 10 = (m - 1)(m - (-10)) = (m - 1)(m + 10)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(m - 1)(m^2 + m + 1)}{(m - 1)(m + 10)} = \frac{m^2 + m + 1}{m + 10}$.

Ответ: $\frac{m^2 + m + 1}{m + 10}$.

5) Для сокращения дроби $\frac{x^2 - 16}{32 - 4x - x^2}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель является разностью квадратов: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.

Знаменатель: $32 - 4x - x^2 = -(x^2 + 4x - 32)$. Разложим на множители трехчлен $x^2 + 4x - 32$.
По теореме Виета, корни $x_1, x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = -4$ и $x_1 \cdot x_2 = -32$. Корнями являются 4 и -8.
Следовательно, $x^2 + 4x - 32 = (x - 4)(x - (-8)) = (x - 4)(x + 8)$.
Тогда знаменатель равен $-(x - 4)(x + 8)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 4)(x + 8)} = \frac{x + 4}{-(x + 8)} = -\frac{x + 4}{x + 8}$.

Ответ: $-\frac{x + 4}{x + 8}$.

6) Для сокращения дроби $\frac{4n^2 - 9n + 2}{2 + 9n - 5n^2}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $4n^2 - 9n + 2$. Найдем корни уравнения $4n^2 - 9n + 2 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.
Корни: $n_1 = \frac{9 + 7}{8} = 2$; $n_2 = \frac{9 - 7}{8} = \frac{1}{4}$.
Разложение: $4n^2 - 9n + 2 = 4(n - 2)(n - \frac{1}{4}) = (n - 2)(4n - 1)$.

Знаменатель: $2 + 9n - 5n^2 = -(5n^2 - 9n - 2)$. Найдем корни уравнения $5n^2 - 9n - 2 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.
Корни: $n_1 = \frac{9 + 11}{10} = 2$; $n_2 = \frac{9 - 11}{10} = -\frac{1}{5}$.
Разложение: $5n^2 - 9n - 2 = 5(n - 2)(n + \frac{1}{5}) = (n - 2)(5n + 1)$.
Знаменатель равен $-(n - 2)(5n + 1)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(n - 2)(4n - 1)}{-(n - 2)(5n + 1)} = \frac{4n - 1}{-(5n + 1)} = \frac{-(4n - 1)}{5n + 1} = \frac{1 - 4n}{5n + 1}$.

Ответ: $\frac{1 - 4n}{5n + 1}$.