Страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

752. Можно ли разложить на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - 12x + 6;$

2) $3x^2 - 8x + 6;$

3) $2a^2 - 8a + 8;$

4) $-6b^2 + b + 12?$

Чтобы определить, можно ли разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на линейные множители, необходимо найти дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Если дискриминант неотрицателен, то есть $D \ge 0$, то квадратное уравнение имеет действительные корни, и трёхчлен можно разложить на линейные множители.

Если дискриминант отрицателен, то есть $D < 0$, то действительных корней нет, и трёхчлен нельзя разложить на линейные множители над полем действительных чисел.

1) $x^2 - 12x + 6$

Для данного трёхчлена коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -12$, $c = 6$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 144 - 24 = 120$.

Поскольку $D = 120 > 0$, трёхчлен можно разложить на линейные множители.

Ответ: да.

2) $3x^2 - 8x + 6$

Для данного трёхчлена коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -8$, $c = 6$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 64 - 72 = -8$.

Поскольку $D = -8 < 0$, трёхчлен нельзя разложить на линейные множители.

Ответ: нет.

3) $2a^2 - 8a + 8$

Для данного трёхчлена коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -8$, $c = 8$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 64 - 64 = 0$.

Поскольку $D = 0$, трёхчлен можно разложить на линейные множители.

Ответ: да.

4) $-6b^2 + b + 12$

Для данного трёхчлена коэффициенты равны: $a = -6$, $b = 1$, $c = 12$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot (-6) \cdot 12 = 1 + 288 = 289$.

Поскольку $D = 289 > 0$, трёхчлен можно разложить на линейные множители.

Ответ: да.

753. Разложите на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - 7x + 12;$

2) $x^2 + 8x + 15;$

3) $x^2 - 3x - 10;$

4) $-x^2 - 5x - 6;$

5) $-x^2 + x + 2;$

6) $6x^2 - 5x - 1;$

7) $4x^2 + 3x - 22;$

8) $-3a^2 + 8a + 3;$

9) $\frac{1}{6}b^2 - \frac{5}{6}b + 1;$

10) $-2x^2 - 0,5x + 1,5;$

11) $0,4x^2 - 2x + 2,5;$

12) $-1,2m^2 + 2,6m - 1.$

Для разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на линейные множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

1) $x^2 - 7x + 12$

Приравняем трёхчлен к нулю, чтобы найти его корни: $x^2 - 7x + 12 = 0$.

Это приведённое квадратное уравнение ($a=1$). Коэффициенты: $a = 1$, $b = -7$, $c = 12$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

Найдём корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$x^2 - 7x + 12 = 1 \cdot (x - 4)(x - 3) = (x - 3)(x - 4)$.

Ответ: $(x - 3)(x - 4)$.

2) $x^2 + 8x + 15$

Найдём корни уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 8$, $c = 15$.

Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$.

Корни: $x_1 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = -3$; $x_2 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = -5$.

Разложение: $x^2 + 8x + 15 = 1 \cdot (x - (-3))(x - (-5)) = (x + 3)(x + 5)$.

Ответ: $(x + 3)(x + 5)$.

3) $x^2 - 3x - 10$

Найдём корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -3$, $c = -10$.

Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Корни: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = 5$; $x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = -2$.

Разложение: $x^2 - 3x - 10 = 1 \cdot (x - 5)(x - (-2)) = (x - 5)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 5)(x + 2)$.

4) $-x^2 - 5x - 6$

Найдём корни уравнения $-x^2 - 5x - 6 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Коэффициенты исходного трёхчлена: $a = -1$, $b = -5$, $c = -6$.

Корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2$; $x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$.

Разложение: $-x^2 - 5x - 6 = -1 \cdot (x - (-2))(x - (-3)) = -(x + 2)(x + 3)$.

Ответ: $-(x + 2)(x + 3)$.

5) $-x^2 + x + 2$

Найдём корни уравнения $-x^2 + x + 2 = 0$. Умножим на -1: $x^2 - x - 2 = 0$.

Коэффициент $a = -1$.

Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

$x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2$; $x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1$.

Разложение: $-x^2 + x + 2 = -1 \cdot (x - 2)(x - (-1)) = -(x - 2)(x + 1) = (2 - x)(x + 1)$.

Ответ: $(2 - x)(x + 1)$.

6) $6x^2 - 5x - 1$

Найдём корни уравнения $6x^2 - 5x - 1 = 0$.

Коэффициенты: $a = 6$, $b = -5$, $c = -1$.

Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$.

Корни: $x_1 = \frac{5 + 7}{12} = 1$; $x_2 = \frac{5 - 7}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.

Разложение: $6x^2 - 5x - 1 = 6(x - 1)(x - (-\frac{1}{6})) = 6(x - 1)(x + \frac{1}{6})$.

Внесём множитель 6 во вторую скобку: $(x - 1) \cdot 6(x + \frac{1}{6}) = (x - 1)(6x + 1)$.

Ответ: $(x - 1)(6x + 1)$.

7) $4x^2 + 3x - 22$

Найдём корни уравнения $4x^2 + 3x - 22 = 0$.

Коэффициенты: $a = 4$, $b = 3$, $c = -22$.

Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-22) = 9 + 352 = 361 = 19^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-3 + 19}{8} = \frac{16}{8} = 2$; $x_2 = \frac{-3 - 19}{8} = -\frac{22}{8} = -\frac{11}{4}$.

Разложение: $4(x - 2)(x - (-\frac{11}{4})) = 4(x - 2)(x + \frac{11}{4}) = (x - 2)(4x + 11)$.

Ответ: $(x - 2)(4x + 11)$.

8) $-3a^2 + 8a + 3$

Найдём корни уравнения $-3a^2 + 8a + 3 = 0$. Умножим на -1: $3a^2 - 8a - 3 = 0$.

Коэффициент при старшем члене исходного трёхчлена: $A = -3$.

Корни уравнения $3a^2 - 8a - 3 = 0$: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.

$a_1 = \frac{8 + 10}{6} = 3$; $a_2 = \frac{8 - 10}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Разложение: $-3(a - 3)(a - (-\frac{1}{3})) = -3(a - 3)(a + \frac{1}{3}) = (a - 3)(-3a - 1) = (3 - a)(3a + 1)$.

Ответ: $(3 - a)(3a + 1)$.

9) $\frac{1}{6}b^2 - \frac{5}{6}b + 1$

Найдём корни уравнения $\frac{1}{6}b^2 - \frac{5}{6}b + 1 = 0$. Умножим на 6: $b^2 - 5b + 6 = 0$.

Коэффициент $a = \frac{1}{6}$.

Корни уравнения $b^2 - 5b + 6 = 0$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

$b_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$; $b_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$.

Разложение: $\frac{1}{6}(b - 3)(b - 2)$.

Ответ: $\frac{1}{6}(b - 2)(b - 3)$.

10) $-2x^2 - 0.5x + 1.5$

Найдём корни уравнения $-2x^2 - 0.5x + 1.5 = 0$. Умножим на -2: $4x^2 + x - 3 = 0$.

Коэффициент $a = -2$.

Корни уравнения $4x^2 + x - 3 = 0$: $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.

$x_1 = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$; $x_2 = \frac{-1 - 7}{8} = -1$.

Разложение: $-2(x - 0.75)(x - (-1)) = -2(x - 0.75)(x + 1) = (-2x + 1.5)(x + 1)$.

Ответ: $(-2x + 1.5)(x + 1)$.

11) $0.4x^2 - 2x + 2.5$

Найдём корни уравнения $0.4x^2 - 2x + 2.5 = 0$. Умножим на 10: $4x^2 - 20x + 25 = 0$.

Коэффициент $a = 0.4$.

Выражение $4x^2 - 20x + 25$ является полным квадратом: $(2x - 5)^2$.

Уравнение $(2x - 5)^2 = 0$ имеет один корень (кратности 2): $x = \frac{5}{2} = 2.5$.

Разложение: $0.4(x - 2.5)(x - 2.5) = 0.4(x - 2.5)^2$.

Ответ: $0.4(x - 2.5)^2$.

12) $-1.2m^2 + 2.6m - 1$

Найдём корни уравнения $-1.2m^2 + 2.6m - 1 = 0$. Умножим на -10: $12m^2 - 26m + 10 = 0$.

Разделим на 2: $6m^2 - 13m + 5 = 0$.

Коэффициент $a = -1.2$.

Корни уравнения $6m^2 - 13m + 5 = 0$: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49$.

$m_1 = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$; $m_2 = \frac{13 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Разложение: $-1.2(m - \frac{5}{3})(m - \frac{1}{2})$.

Представим $-1.2 = -0.2 \cdot 6 = -0.2 \cdot 3 \cdot 2$ и внесём множители 3 и 2 в скобки:

$-0.2 \cdot 3(m - \frac{5}{3}) \cdot 2(m - \frac{1}{2}) = -0.2(3m - 5)(2m - 1)$.

Ответ: $-0.2(3m - 5)(2m - 1)$.

754. Разложите на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - 3x - 18;$

2) $x^2 + 5x - 14;$

3) $-x^2 + 3x + 4;$

4) $5x^2 + 8x - 4;$

5) $2a^2 - 3a + 1;$

6) $4b^2 - 11b - 3;$

7) $-\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3;$

8) $0,3m^2 - 3m + 7,5;$

9) $x^2 - 2x - 2.$

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на линейные множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, которое решается через дискриминант $D = b^2 - 4ac$ и формулу корней $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

1) $x^2 - 3x - 18$

Найдём корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-3, c=-18$.
Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.
Корни: $x_{1} = \frac{3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{3 + 9}{2} = 6$; $x_{2} = \frac{3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{3 - 9}{2} = -3$.
Разложение: $x^2 - 3x - 18 = 1 \cdot (x - 6)(x - (-3)) = (x - 6)(x + 3)$.
Ответ: $(x - 6)(x + 3)$.

2) $x^2 + 5x - 14$

Найдём корни уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=5, c=-14$.
Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Корни: $x_{1} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2$; $x_{2} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = -7$.
Разложение: $x^2 + 5x - 14 = 1 \cdot (x - 2)(x - (-7)) = (x - 2)(x + 7)$.
Ответ: $(x - 2)(x + 7)$.

3) $-x^2 + 3x + 4$

Найдём корни уравнения $-x^2 + 3x + 4 = 0$.
Коэффициенты: $a=-1, b=3, c=4$.
Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4 = 9 + 16 = 25$.
Корни: $x_{1} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3 + 5}{-2} = -1$; $x_{2} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot (-1)} = \frac{-8}{-2} = 4$.
Разложение: $-x^2 + 3x + 4 = -1 \cdot (x - (-1))(x - 4) = -(x + 1)(x - 4)$.
Ответ: $-(x + 1)(x - 4)$.

4) $5x^2 + 8x - 4$

Найдём корни уравнения $5x^2 + 8x - 4 = 0$.
Коэффициенты: $a=5, b=8, c=-4$.
Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144$.
Корни: $x_{1} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{-8 + 12}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$; $x_{2} = \frac{-8 - 12}{10} = \frac{-20}{10} = -2$.
Разложение: $5x^2 + 8x - 4 = 5(x - \frac{2}{5})(x - (-2)) = 5(x - \frac{2}{5})(x + 2) = (5x - 2)(x + 2)$.
Ответ: $(5x - 2)(x + 2)$.

5) $2a^2 - 3a + 1$

Найдём корни уравнения $2a^2 - 3a + 1 = 0$ относительно переменной $a$.
Коэффициенты: $a_{coeff}=2, b_{coeff}=-3, c_{coeff}=1$.
Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Корни: $a_{1} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$; $a_{2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Разложение: $2a^2 - 3a + 1 = 2(a - 1)(a - \frac{1}{2}) = (a - 1)(2a - 1)$.
Ответ: $(a - 1)(2a - 1)$.

6) $4b^2 - 11b - 3$

Найдём корни уравнения $4b^2 - 11b - 3 = 0$ относительно переменной $b$.
Коэффициенты: $a=4, b=-11, c=-3$.
Дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$.
Корни: $b_{1} = \frac{11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 13}{8} = 3$; $b_{2} = \frac{11 - 13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Разложение: $4b^2 - 11b - 3 = 4(b - 3)(b - (-\frac{1}{4})) = 4(b - 3)(b + \frac{1}{4}) = (b - 3)(4b + 1)$.
Ответ: $(b - 3)(4b + 1)$.

7) $-\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3$

Найдём корни уравнения $-\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3 = 0$. Старший коэффициент $a = -\frac{1}{4}$.
Для удобства решения умножим уравнение на $-4$, получим $x^2 + 8x + 12 = 0$.
Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$.
Корни: $x_{1} = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2} = -2$; $x_{2} = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2} = -6$.
Разложение (используя исходный коэффициент $a = -\frac{1}{4}$): $-\frac{1}{4}(x - (-2))(x - (-6)) = -\frac{1}{4}(x + 2)(x + 6)$.
Ответ: $-\frac{1}{4}(x + 2)(x + 6)$.

8) $0.3m^2 - 3m + 7.5$

Найдём корни уравнения $0.3m^2 - 3m + 7.5 = 0$ относительно переменной $m$. Старший коэффициент $a=0.3$.
Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 0.3 \cdot 7.5 = 9 - 1.2 \cdot 7.5 = 9 - 9 = 0$.
Так как $D=0$, уравнение имеет один корень (кратности 2): $m = \frac{-(-3)}{2 \cdot 0.3} = \frac{3}{0.6} = 5$.
Разложение: $0.3(m-5)(m-5) = 0.3(m-5)^2$.
Ответ: $0.3(m-5)^2$.

9) $x^2 - 2x - 2$

Найдём корни уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-2, c=-2$.
Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
$x_1 = 1 + \sqrt{3}$; $x_2 = 1 - \sqrt{3}$.
Разложение: $1 \cdot (x - (1 + \sqrt{3}))(x - (1 - \sqrt{3})) = (x - 1 - \sqrt{3})(x - 1 + \sqrt{3})$.
Ответ: $(x - 1 - \sqrt{3})(x - 1 + \sqrt{3})$.

755. Сократите дробь:

1) $ \frac{x^2 + x - 6}{x + 3}; $

2) $ \frac{x - 4}{x^2 - 10x + 24}; $

3) $ \frac{3x - 15}{x^2 - x - 20}; $

4) $ \frac{x^2 - 3x + 2}{6x - 6}; $

5) $ \frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 3x}; $

6) $ \frac{x^2 + 4x}{x^2 + 2x - 8}. $

1) $\frac{x^2 + x - 6}{x + 3}$

Для того чтобы сократить дробь, разложим числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$; $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$.

Квадратный трехчлен $ax^2+bx+c$ раскладывается на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$. Следовательно, $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x - (-3)) = (x - 2)(x + 3)$.

Подставим разложение в исходную дробь:

$\frac{(x - 2)(x + 3)}{x + 3}$

Сократим общий множитель $(x + 3)$, при условии что $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

$\frac{(x - 2)\cancel{(x + 3)}}{\cancel{x + 3}} = x - 2$

Ответ: $x-2$

2) $\frac{x - 4}{x^2 - 10x + 24}$

Разложим на множители знаменатель, решив квадратное уравнение $x^2 - 10x + 24 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 10$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 24$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 6$.

Следовательно, знаменатель раскладывается на множители: $x^2 - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6)$.

Подставим разложение в дробь:

$\frac{x - 4}{(x - 4)(x - 6)}$

Сократим общий множитель $(x - 4)$, при условии что $x - 4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$.

$\frac{\cancel{x - 4}}{\cancel{(x - 4)}(x - 6)} = \frac{1}{x - 6}$

Ответ: $\frac{1}{x - 6}$

3) $\frac{3x - 15}{x^2 - x - 20}$

Сначала вынесем общий множитель за скобки в числителе: $3x - 15 = 3(x - 5)$.

Теперь разложим на множители знаменатель, решив уравнение $x^2 - x - 20 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -20$

Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.

Разложение знаменателя: $x^2 - x - 20 = (x - 5)(x - (-4)) = (x - 5)(x + 4)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{3(x - 5)}{(x - 5)(x + 4)}$

Сократим общий множитель $(x - 5)$, при условии что $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.

$\frac{3\cancel{(x - 5)}}{\cancel{(x - 5)}(x + 4)} = \frac{3}{x + 4}$

Ответ: $\frac{3}{x + 4}$

4) $\frac{x^2 - 3x + 2}{6x - 6}$

Разложим на множители числитель, решив уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 3$

$x_1 \cdot x_2 = 2$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Разложение числителя: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Вынесем общий множитель в знаменателе: $6x - 6 = 6(x - 1)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(x - 1)(x - 2)}{6(x - 1)}$

Сократим общий множитель $(x - 1)$, при условии что $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

$\frac{\cancel{(x - 1)}(x - 2)}{6\cancel{(x - 1)}} = \frac{x - 2}{6}$

Ответ: $\frac{x - 2}{6}$

5) $\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 3x}$

Разложим на множители числитель, решив уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = 12$

Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Разложение числителя: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

Вынесем общий множитель в знаменателе: $x^2 - 3x = x(x - 3)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(x - 3)(x - 4)}{x(x - 3)}$

Сократим общий множитель $(x - 3)$, при условии что $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

$\frac{\cancel{(x - 3)}(x - 4)}{x\cancel{(x - 3)}} = \frac{x - 4}{x}$

Ответ: $\frac{x - 4}{x}$

6) $\frac{x^2 + 4x}{x^2 + 2x - 8}$

Вынесем общий множитель в числителе: $x^2 + 4x = x(x + 4)$.

Разложим на множители знаменатель, решив уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Разложение знаменателя: $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x - (-4)) = (x - 2)(x + 4)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{x(x + 4)}{(x - 2)(x + 4)}$

Сократим общий множитель $(x + 4)$, при условии что $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.

$\frac{x\cancel{(x + 4)}}{(x - 2)\cancel{(x + 4)}} = \frac{x}{x - 2}$

Ответ: $\frac{x}{x - 2}$

756. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 6x + 5}{x - 5}$;

2) $\frac{2x + 12}{x^2 + 3x - 18}$;

3) $\frac{x^2 + 9x + 14}{x^2 + 7x}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 6x + 5}{x - 5}$, необходимо разложить на множители ее числитель.

Числитель $x^2 - 6x + 5$ является квадратным трехчленом. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ для его разложения. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-6) = 6$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 5$

Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Разложение квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. В данном случае $a=1$, поэтому:

$x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5)$

Теперь подставим полученное разложение обратно в дробь и выполним сокращение:

$\frac{x^2 - 6x + 5}{x - 5} = \frac{(x - 1)(x - 5)}{x - 5} = x - 1$

Сокращение возможно при условии, что $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.

Ответ: $x - 1$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{2x + 12}{x^2 + 3x - 18}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2x + 12 = 2(x + 6)$

В знаменателе имеем квадратный трехчлен $x^2 + 3x - 18$. Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 18 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 9}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 9}{2} = -6$

Разложение знаменателя на множители:

$x^2 + 3x - 18 = (x - 3)(x - (-6)) = (x - 3)(x + 6)$

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(x + 6)$:

$\frac{2x + 12}{x^2 + 3x - 18} = \frac{2(x + 6)}{(x - 3)(x + 6)} = \frac{2}{x - 3}$

Сокращение возможно при условии, что $x + 6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$.

Ответ: $\frac{2}{x - 3}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 + 9x + 14}{x^2 + 7x}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $x^2 + 9x + 14$ на множители, найдя корни уравнения $x^2 + 9x + 14 = 0$. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -9$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 14$

Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -7$.

Разложение числителя:

$x^2 + 9x + 14 = (x - (-2))(x - (-7)) = (x + 2)(x + 7)$

Разложим знаменатель, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x^2 + 7x = x(x + 7)$

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(x + 7)$:

$\frac{x^2 + 9x + 14}{x^2 + 7x} = \frac{(x + 2)(x + 7)}{x(x + 7)} = \frac{x + 2}{x}$

Сокращение возможно при условии, что $x + 7 \neq 0$ ($x \neq -7$) и $x \neq 0$.

Ответ: $\frac{x + 2}{x}$

757. Сократите дробь:

1) $\frac{4a^2 - 9}{2a^2 - 9a - 18}$;

2) $\frac{2b^2 - 7b + 3}{4b^2 - 4b + 1}$;

3) $\frac{c^2 - 5c - 6}{c^2 - 8c + 12}$;

4) $\frac{m^3 - 1}{m^2 + 9m - 10}$;

5) $\frac{x^2 - 16}{32 - 4x - x^2}$;

6) $\frac{4n^2 - 9n + 2}{2 + 9n - 5n^2}$.

1) Для сокращения дроби $\frac{4a^2 - 9}{2a^2 - 9a - 18}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель представляет собой разность квадратов: $4a^2 - 9 = (2a)^2 - 3^2 = (2a - 3)(2a + 3)$.

Знаменатель является квадратным трехчленом $2a^2 - 9a - 18$. Для его разложения на множители найдем корни уравнения $2a^2 - 9a - 18 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
Найдем корни: $a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$;
$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Таким образом, разложение трехчлена имеет вид: $2a^2 - 9a - 18 = 2(a - 6)(a - (-\frac{3}{2})) = 2(a - 6)(a + \frac{3}{2}) = (a - 6)(2a + 3)$.

Теперь подставим разложения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{(2a - 3)(2a + 3)}{(a - 6)(2a + 3)} = \frac{2a - 3}{a - 6}$.

Ответ: $\frac{2a - 3}{a - 6}$.

2) Для сокращения дроби $\frac{2b^2 - 7b + 3}{4b^2 - 4b + 1}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $2b^2 - 7b + 3$. Найдем корни уравнения $2b^2 - 7b + 3 = 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.
Корни: $b_1 = \frac{7 + 5}{4} = 3$; $b_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}$.
Разложение: $2b^2 - 7b + 3 = 2(b - 3)(b - \frac{1}{2}) = (b - 3)(2b - 1)$.

Знаменатель: $4b^2 - 4b + 1$. Это полный квадрат разности: $(2b)^2 - 2 \cdot 2b \cdot 1 + 1^2 = (2b - 1)^2$.

Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(b - 3)(2b - 1)}{(2b - 1)^2} = \frac{b - 3}{2b - 1}$.

Ответ: $\frac{b - 3}{2b - 1}$.

3) Для сокращения дроби $\frac{c^2 - 5c - 6}{c^2 - 8c + 12}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $c^2 - 5c - 6$. Используя теорему Виета, найдем корни: $c_1 + c_2 = 5$, $c_1 \cdot c_2 = -6$. Корнями являются числа 6 и -1.
Следовательно, $c^2 - 5c - 6 = (c - 6)(c - (-1)) = (c - 6)(c + 1)$.

Знаменатель: $c^2 - 8c + 12$. Используя теорему Виета, найдем корни: $c_1 + c_2 = 8$, $c_1 \cdot c_2 = 12$. Корнями являются числа 6 и 2.
Следовательно, $c^2 - 8c + 12 = (c - 6)(c - 2)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(c - 6)(c + 1)}{(c - 6)(c - 2)} = \frac{c + 1}{c - 2}$.

Ответ: $\frac{c + 1}{c - 2}$.

4) Для сокращения дроби $\frac{m^3 - 1}{m^2 + 9m - 10}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель является разностью кубов: $m^3 - 1 = (m - 1)(m^2 + m + 1)$.

Знаменатель: $m^2 + 9m - 10$. По теореме Виета, корни $m_1, m_2$ удовлетворяют условиям $m_1 + m_2 = -9$ и $m_1 \cdot m_2 = -10$. Корнями являются 1 и -10.
Следовательно, $m^2 + 9m - 10 = (m - 1)(m - (-10)) = (m - 1)(m + 10)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(m - 1)(m^2 + m + 1)}{(m - 1)(m + 10)} = \frac{m^2 + m + 1}{m + 10}$.

Ответ: $\frac{m^2 + m + 1}{m + 10}$.

5) Для сокращения дроби $\frac{x^2 - 16}{32 - 4x - x^2}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель является разностью квадратов: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.

Знаменатель: $32 - 4x - x^2 = -(x^2 + 4x - 32)$. Разложим на множители трехчлен $x^2 + 4x - 32$.
По теореме Виета, корни $x_1, x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = -4$ и $x_1 \cdot x_2 = -32$. Корнями являются 4 и -8.
Следовательно, $x^2 + 4x - 32 = (x - 4)(x - (-8)) = (x - 4)(x + 8)$.
Тогда знаменатель равен $-(x - 4)(x + 8)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 4)(x + 8)} = \frac{x + 4}{-(x + 8)} = -\frac{x + 4}{x + 8}$.

Ответ: $-\frac{x + 4}{x + 8}$.

6) Для сокращения дроби $\frac{4n^2 - 9n + 2}{2 + 9n - 5n^2}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $4n^2 - 9n + 2$. Найдем корни уравнения $4n^2 - 9n + 2 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.
Корни: $n_1 = \frac{9 + 7}{8} = 2$; $n_2 = \frac{9 - 7}{8} = \frac{1}{4}$.
Разложение: $4n^2 - 9n + 2 = 4(n - 2)(n - \frac{1}{4}) = (n - 2)(4n - 1)$.

Знаменатель: $2 + 9n - 5n^2 = -(5n^2 - 9n - 2)$. Найдем корни уравнения $5n^2 - 9n - 2 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.
Корни: $n_1 = \frac{9 + 11}{10} = 2$; $n_2 = \frac{9 - 11}{10} = -\frac{1}{5}$.
Разложение: $5n^2 - 9n - 2 = 5(n - 2)(n + \frac{1}{5}) = (n - 2)(5n + 1)$.
Знаменатель равен $-(n - 2)(5n + 1)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{(n - 2)(4n - 1)}{-(n - 2)(5n + 1)} = \frac{4n - 1}{-(5n + 1)} = \frac{-(4n - 1)}{5n + 1} = \frac{1 - 4n}{5n + 1}$.

Ответ: $\frac{1 - 4n}{5n + 1}$.

758. Сократите дробь:

1) $\frac{4x^2 + x - 3}{x^2 - 1}$;

2) $\frac{2y^2 + 3y - 5}{y^2 - 2y + 1}$;

3) $\frac{a^2 + 5a + 4}{a^2 - a - 20}$;

4) $\frac{3 + 20b - 7b^2}{7b^2 - 6b - 1}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{4x^2 + x - 3}{x^2 - 1}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Знаменатель $x^2 - 1$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Числитель $4x^2 + x - 3$ — это квадратный трехчлен. Для его разложения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта.
Коэффициенты: $a=4, b=1, c=-3$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm 7}{8}$.
$x_1 = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
$x_2 = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1$.
Разложим трехчлен на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$4x^2 + x - 3 = 4(x - \frac{3}{4})(x - (-1)) = 4(x - \frac{3}{4})(x + 1) = (4x - 3)(x + 1)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{4x^2 + x - 3}{x^2 - 1} = \frac{(4x - 3)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{4x - 3}{x - 1}$.
Сокращение возможно при условии $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
Ответ: $\frac{4x - 3}{x - 1}$.

2) Для сокращения дроби $\frac{2y^2 + 3y - 5}{y^2 - 2y + 1}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Знаменатель $y^2 - 2y + 1$ является полным квадратом разности и сворачивается по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$y^2 - 2y + 1 = (y-1)^2$.

Для разложения числителя $2y^2 + 3y - 5$ найдем корни уравнения $2y^2 + 3y - 5 = 0$.
Коэффициенты: $a=2, b=3, c=-5$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Корни: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4}$.
$y_1 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$y_2 = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$.
Разложение числителя:
$2y^2 + 3y - 5 = 2(y - 1)(y - (-\frac{5}{2})) = 2(y-1)(y+\frac{5}{2}) = (y-1)(2y+5)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(y-1)$:
$\frac{2y^2 + 3y - 5}{y^2 - 2y + 1} = \frac{(y-1)(2y+5)}{(y-1)^2} = \frac{2y+5}{y-1}$.
Сокращение возможно при $y-1 \neq 0$, то есть $y \neq 1$.
Ответ: $\frac{2y+5}{y-1}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + 5a + 4}{a^2 - a - 20}$, разложим на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе.

Разложим числитель $a^2 + 5a + 4$. Найдем корни уравнения $a^2 + 5a + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $a_1+a_2 = -5$, а их произведение $a_1 \cdot a_2 = 4$. Легко подобрать корни: $a_1 = -1$ и $a_2 = -4$.
Тогда $a^2 + 5a + 4 = (a - (-1))(a - (-4)) = (a+1)(a+4)$.

Разложим знаменатель $a^2 - a - 20$. Найдем корни уравнения $a^2 - a - 20 = 0$. По теореме Виета, $a_1+a_2 = 1$ и $a_1 \cdot a_2 = -20$. Корни: $a_1 = 5$ и $a_2 = -4$.
Тогда $a^2 - a - 20 = (a - 5)(a - (-4)) = (a-5)(a+4)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{a^2 + 5a + 4}{a^2 - a - 20} = \frac{(a+1)(a+4)}{(a-5)(a+4)} = \frac{a+1}{a-5}$.
Сокращение возможно при $a+4 \neq 0$, то есть $a \neq -4$.
Ответ: $\frac{a+1}{a-5}$.

4) Для сокращения дроби $\frac{3 + 20b - 7b^2}{7b^2 - 6b - 1}$ разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $-7b^2 + 20b + 3$. Найдем корни уравнения $-7b^2 + 20b + 3 = 0$.
Дискриминант: $D = 20^2 - 4 \cdot (-7) \cdot 3 = 400 + 84 = 484 = 22^2$.
Корни: $b_{1,2} = \frac{-20 \pm 22}{2 \cdot (-7)} = \frac{-20 \pm 22}{-14}$.
$b_1 = \frac{-20 + 22}{-14} = \frac{2}{-14} = -\frac{1}{7}$.
$b_2 = \frac{-20 - 22}{-14} = \frac{-42}{-14} = 3$.
Разложение числителя:
$-7b^2 + 20b + 3 = -7(b - (-\frac{1}{7}))(b-3) = -7(b+\frac{1}{7})(b-3) = -(7b+1)(b-3) = (7b+1)(3-b)$.

Разложим знаменатель $7b^2 - 6b - 1$. Найдем корни уравнения $7b^2 - 6b - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 = 8^2$.
Корни: $b_{1,2} = \frac{6 \pm 8}{2 \cdot 7} = \frac{6 \pm 8}{14}$.
$b_1 = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$.
$b_2 = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$.
Разложение знаменателя:
$7b^2 - 6b - 1 = 7(b-1)(b-(-\frac{1}{7})) = 7(b-1)(b+\frac{1}{7}) = (b-1)(7b+1)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(7b+1)$:
$\frac{3 + 20b - 7b^2}{7b^2 - 6b - 1} = \frac{(7b+1)(3-b)}{(b-1)(7b+1)} = \frac{3-b}{b-1}$.
Сокращение возможно при $7b+1 \neq 0$, то есть $b \neq -\frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{3-b}{b-1}$.

759. При каком значении $b$ разложение на линейные множители трёхчлена:

1) $2x^2 - 5x + b$ содержит множитель $(x - 3)$;

2) $-4x^2 + bx + 2$ содержит множитель $(x + 1)$;

3) $3x^2 - 4x + b$ содержит множитель $(3x - 2)$?

1) Если разложение на множители трёхчлена $2x^2 - 5x + b$ содержит множитель $(x - 3)$, это означает, что $x=3$ является корнем данного трёхчлена. Согласно теореме Безу, если подставить корень в многочлен, то его значение будет равно нулю. Выполним подстановку $x=3$ в трёхчлен и решим полученное уравнение:

$2 \cdot (3)^2 - 5 \cdot 3 + b = 0$
$2 \cdot 9 - 15 + b = 0$
$18 - 15 + b = 0$
$3 + b = 0$
$b = -3$

Ответ: $b = -3$.

2) Если разложение трёхчлена $-4x^2 + bx + 2$ содержит множитель $(x + 1)$, то $x=-1$ является корнем этого трёхчлена. Подставим значение $x=-1$ в трёхчлен и приравняем его к нулю:

$-4 \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + 2 = 0$
$-4 \cdot 1 - b + 2 = 0$
$-4 - b + 2 = 0$
$-2 - b = 0$
$b = -2$

Ответ: $b = -2$.

3) Если разложение трёхчлена $3x^2 - 4x + b$ содержит множитель $(3x - 2)$, то корень этого множителя является и корнем самого трёхчлена. Найдём корень, приравняв множитель к нулю: $3x - 2 = 0$, откуда $x = \frac{2}{3}$.

Теперь подставим найденное значение $x = \frac{2}{3}$ в трёхчлен и решим уравнение относительно $b$:

$3 \cdot (\frac{2}{3})^2 - 4 \cdot (\frac{2}{3}) + b = 0$
$3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + b = 0$
$\frac{12}{9} - \frac{8}{3} + b = 0$
Приводим дроби к общему знаменателю. Сократим $\frac{12}{9}$ до $\frac{4}{3}$:
$\frac{4}{3} - \frac{8}{3} + b = 0$
$-\frac{4}{3} + b = 0$
$b = \frac{4}{3}$

Ответ: $b = \frac{4}{3}$.