Страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое из данных уравнений не является квадратным?

А) $x^2 = 0$ Б) $x^2 + x = 0$ В) $x^3 + x = 0$ Г) $x^2 + x - 2 = 0$

Квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа, причём коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$). Главным признаком квадратного уравнения является то, что наибольшая степень переменной в нём равна 2.

Проанализируем каждое из предложенных уравнений:

А) Уравнение $x^2 = 0$ является квадратным. Его можно записать в стандартном виде как $1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0 = 0$. Здесь старший коэффициент $a=1$, что не равно нулю, а наибольшая степень переменной $x$ — вторая. Это неполное квадратное уравнение.

Б) Уравнение $x^2 + x = 0$ является квадратным. В стандартной форме оно выглядит как $1 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 0 = 0$. Старший коэффициент $a=1 \neq 0$, наибольшая степень переменной — 2. Это также неполное квадратное уравнение.

В) Уравнение $x^3 + x = 0$ не является квадратным. В этом уравнении наибольшая степень переменной $x$ равна 3. Уравнения, в которых старшая степень переменной равна 3, называются кубическими.

Г) Уравнение $x^2 + x - 2 = 0$ является квадратным. Оно уже представлено в стандартном виде, где $a=1$, $b=1$ и $c=-2$. Старший коэффициент $a=1 \neq 0$, и наибольшая степень переменной равна 2. Это полное квадратное уравнение.

Таким образом, единственное уравнение, которое не является квадратным, — это уравнение под буквой В.

Ответ: В.

2. Решите уравнение $9x - x^2 = 0$.

А) -3; 0; 3

Б) 0; 3

В) -3; 3

Г) 0; 9

Для решения уравнения $9x - x^2 = 0$ необходимо найти значения $x$, при которых равенство будет верным. Данное уравнение является неполным квадратным уравнением, так как в нем отсутствует свободный член (коэффициент $c=0$).

Наиболее простой способ решения — разложение на множители. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(9 - x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю только в том случае, если хотя бы один из них равен нулю. Это дает нам два возможных случая:

1. Первый множитель равен нулю:
$x = 0$

2. Второй множитель равен нулю:
$9 - x = 0$

Решим второе уравнение:
$x = 9$

Таким образом, мы получили два корня уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$.

Среди предложенных вариантов ответов, вариант Г) 0; 9 полностью совпадает с найденными нами корнями.

Ответ: Г) 0; 9

3. Решите уравнение $\frac{x^2 - x}{6} - \frac{x - 2}{3} = \frac{3 - x}{2}$.

А) $0; 5$

Б) $5$

В) $\sqrt{5}$

Г) $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$

Чтобы решить данное уравнение, приведем все дроби к общему знаменателю. Исходное уравнение:

$\frac{x^2 - x}{6} - \frac{x - 2}{3} = \frac{3 - x}{2}$

Наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями 6, 3 и 2 равен 6. Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателей:

$6 \cdot \left(\frac{x^2 - x}{6} - \frac{x - 2}{3}\right) = 6 \cdot \left(\frac{3 - x}{2}\right)$

$\frac{6(x^2 - x)}{6} - \frac{6(x - 2)}{3} = \frac{6(3 - x)}{2}$

После сокращения дробей получаем:

$(x^2 - x) - 2(x - 2) = 3(3 - x)$

Теперь раскроем скобки в уравнении, соблюдая знаки:

$x^2 - x - 2x + 4 = 9 - 3x$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$x^2 - 3x + 4 = 9 - 3x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Для этого вычтем из обеих частей $(9 - 3x)$:

$x^2 - 3x + 4 - (9 - 3x) = 0$

$x^2 - 3x + 4 - 9 + 3x = 0$

Снова приведем подобные слагаемые. Члены $-3x$ и $+3x$ взаимно уничтожаются:

$x^2 + (4 - 9) = 0$

$x^2 - 5 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 5$

Чтобы найти значения $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{5}$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.

Сравнивая полученное решение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту Г).

Ответ: $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$

4. Какое из данных уравнений не имеет корней?

А) $x^2 - 5x - 2 = 0$

Б) $x^2 - 5x + 2 = 0$

В) $x^2 - 2x + 5 = 0$

Г) $x^2 + 2x - 5 = 0$

Чтобы определить, какое из данных уравнений не имеет корней, нужно вычислить их дискриминанты. Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ меньше нуля ($D < 0$). Проверим каждое уравнение.

А) $x^2 - 5x - 2 = 0$

Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -5$, $c = -2$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 25 + 8 = 33$.

Так как $D = 33 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: уравнение имеет корни.

Б) $x^2 - 5x + 2 = 0$

Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -5$, $c = 2$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$.

Так как $D = 17 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: уравнение имеет корни.

В) $x^2 - 2x + 5 = 0$

Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -2$, $c = 5$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.

Так как $D = -16 < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: уравнение не имеет корней.

Г) $x^2 + 2x - 5 = 0$

Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 2$, $c = -5$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$.

Так как $D = 24 > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: уравнение имеет корни.

Таким образом, единственное уравнение, у которого дискриминант отрицательный и которое не имеет корней, это уравнение В).

5. Сколько корней имеет уравнение $6x^2 + 13x + 5 = 0$?

А) два

Б) бесконечно много

В) ни одного

Г) один

Чтобы определить, сколько корней имеет квадратное уравнение, нужно найти его дискриминант. Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$.

Количество корней определяется знаком дискриминанта ($D$), который вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

Возможны три случая:

- Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

- Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два равных корня).

- Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим данное уравнение: $6x^2 + 13x + 5 = 0$.

Определим его коэффициенты:

$a = 6$

$b = 13$

$c = 5$

Теперь вычислим дискриминант, подставив эти значения в формулу:

$D = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5$

$D = 169 - 120$

$D = 49$

Мы получили, что дискриминант $D = 49$. Так как $49 > 0$, это означает, что уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: А) два

6. Найдите корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.

А) 7; -3

Б) -7; 3

В) -7; -3

Г) 3; 7

Для решения квадратного уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$ можно воспользоваться формулой корней через дискриминант или теоремой Виета.

Способ 1: Через дискриминант

Уравнение представлено в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$. Определим коэффициенты:
$a = 1$, $b = 4$, $c = -21$.

Вычислим дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.

Так как $D = 100 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их, используя формулу $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Способ 2: По теореме Виета

Для приведенного квадратного уравнения (когда $a=1$) вида $x^2 + px + q = 0$, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем уравнении $p = 4$ и $q = -21$. Искомые корни должны удовлетворять системе:
$x_1 + x_2 = -4$
$x_1 \cdot x_2 = -21$

Методом подбора находим, что данными числами являются $3$ и $-7$, поскольку:
$3 + (-7) = -4$
$3 \cdot (-7) = -21$

Оба способа дают одинаковые корни: $-7$ и $3$. Сравнивая с вариантами ответа, мы видим, что правильным является вариант Б.

Ответ: Б) -7; 3

7. Чему равна сумма корней уравнения $x^2 - 10x - 12 = 0$?

А) 10

Б) -10

В) -12

Г) 12

Для нахождения суммы корней уравнения $x^2 - 10x - 12 = 0$ воспользуемся теоремой Виета.

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -10$, $c = -12$.

Перед применением теоремы Виета убедимся, что уравнение имеет действительные корни. Для этого вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 100 + 48 = 148$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Согласно теореме Виета, сумма корней ($x_1$ и $x_2$) квадратного уравнения находится по формуле:
$x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}$

Подставим значения наших коэффициентов в эту формулу:
$x_1 + x_2 = - \frac{-10}{1} = 10$

Таким образом, сумма корней данного уравнения равна 10.

Ответ: 10

8. Чему равно произведение корней уравнения $3x^2 - 16x + 6 = 0$?

А) 6 Б) 2 В) -16 Г) $\frac{16}{3}$

Для нахождения произведения корней квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ применяется теорема Виета. Согласно теореме Виета, произведение корней $x_1$ и $x_2$ такого уравнения равно отношению свободного члена $c$ к старшему коэффициенту $a$.

Формула для произведения корней выглядит следующим образом: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

В данном уравнении $3x^2 - 16x + 6 = 0$ коэффициенты равны:$a = 3$, $b = -16$, $c = 6$.

Перед использованием формулы убедимся, что уравнение имеет действительные корни. Для этого вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 256 - 72 = 184$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и применение теоремы Виета является правомерным.

Теперь подставим значения коэффициентов $a=3$ и $c=6$ в формулу для произведения корней:$x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{3}$.

Выполним деление:$x_1 \cdot x_2 = 2$.

Следовательно, произведение корней данного уравнения равно 2. Среди предложенных вариантов ответа это соответствует варианту Б).

Ответ: 2

9. При каких значениях переменной принимают равные значения выражения $(3x - 1)(x + 2)$ и $(x - 12)(x - 4)$?

А) -12,5; 2

Б) 12,5; -2

В) -25; 4

Г) 25; -4

Чтобы найти значения переменной, при которых данные выражения принимают равные значения, необходимо приравнять их друг к другу и решить полученное уравнение.

Составим уравнение:

$(3x - 1)(x + 2) = (x - 12)(x - 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножая каждый член одного многочлена на каждый член другого:

В левой части:

$3x \cdot x + 3x \cdot 2 - 1 \cdot x - 1 \cdot 2 = 3x^2 + 6x - x - 2 = 3x^2 + 5x - 2$

В правой части:

$x \cdot x + x \cdot (-4) - 12 \cdot x - 12 \cdot (-4) = x^2 - 4x - 12x + 48 = x^2 - 16x + 48$

Теперь уравнение имеет вид:

$3x^2 + 5x - 2 = x^2 - 16x + 48$

Перенесём все члены из правой части в левую, изменяя их знаки на противоположные, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 + 5x - 2 - x^2 + 16x - 48 = 0$

Приведём подобные слагаемые:

$(3x^2 - x^2) + (5x + 16x) + (-2 - 48) = 0$

$2x^2 + 21x - 50 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=2$, $b=21$, $c=-50$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 21^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-50) = 441 + 400 = 841$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{841} = 29$

Найдем первый корень:

$x_1 = \frac{-21 + 29}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Найдем второй корень:

$x_2 = \frac{-21 - 29}{2 \cdot 2} = \frac{-50}{4} = -\frac{25}{2} = -12,5$

Следовательно, выражения принимают равные значения при $x = -12,5$ и $x = 2$.

Ответ: $-12,5; 2$

10. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны $3 - \sqrt{2}$

и $3 + \sqrt{2}$.

А) $x^2 + 6x - 7 = 0$

Б) $x^2 - 6x - 7 = 0$

В) $x^2 + 6x + 7 = 0$

Г) $x^2 - 6x + 7 = 0$

Для того чтобы составить квадратное уравнение, зная его корни, удобно использовать теорему Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — корни, выполняются следующие равенства:

• Сумма корней равна второму коэффициенту ($p$), взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.
• Произведение корней равно свободному члену ($q$): $x_1 \cdot x_2 = q$.

Таким образом, зная корни, можно составить уравнение по формуле: $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$.

В нашей задаче корни равны $x_1 = 3 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{2}$.

1. Вычислим сумму корней:

$x_1 + x_2 = (3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2}) = 3 + 3 - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 6$.

2. Вычислим произведение корней:

Для этого воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$x_1 \cdot x_2 = (3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$.

3. Составим квадратное уравнение:

Подставим найденные значения суммы (6) и произведения (7) в формулу:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$

$x^2 - 6x + 7 = 0$

Полученное уравнение соответствует варианту ответа Г).

Ответ: Г) $x^2 - 6x + 7 = 0$

11. Решите уравнение $x|x| - 9x - 10 = 0$.

А) $-1; 10; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$

В) $-1; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}$

Б) $10; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$

Г) $-1; 10$

Данное уравнение $x|x| - 9x - 10 = 0$ содержит модуль, поэтому для его решения необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака переменной x.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$ модуль раскрывается как $|x| = x$. Подставим это в уравнение:
$x \cdot x - 9x - 10 = 0$
$x^2 - 9x - 10 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
$a=1, b=-9, c=-10$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121$
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 0$.
Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет условию $10 \ge 0$, поэтому он является решением исходного уравнения.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, поэтому он не является решением.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$ модуль раскрывается как $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:
$x \cdot (-x) - 9x - 10 = 0$
$-x^2 - 9x - 10 = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:
$x^2 + 9x + 10 = 0$
Решим его с помощью дискриминанта:
$a=1, b=9, c=10$
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 81 - 40 = 41$
$\sqrt{D} = \sqrt{41}$
Найдем корни:
$x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$
$x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}$
Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x < 0$.
Для корня $x_3 = \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$: так как $\sqrt{36} < \sqrt{41} < \sqrt{49}$, то $6 < \sqrt{41} < 7$. Значит, числитель $-9 + \sqrt{41}$ является отрицательным числом. Следовательно, $x_3 < 0$, и этот корень является решением.
Для корня $x_4 = \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}$: числитель является суммой двух отрицательных чисел, поэтому весь корень очевидно меньше нуля. Следовательно, $x_4 < 0$, и этот корень также является решением.

Итог

Объединяя все найденные решения из обоих случаев, получаем три корня уравнения: $10$, $\frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$ и $\frac{-9 - \sqrt{41}}{2}$.
Этот набор корней соответствует варианту ответа Б.

Ответ: Б) $10; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$

12. Число $-5$ является корнем уравнения $2x^2 + 9x + c = 0$. Найдите второй корень уравнения и значение $c$.

А) $x_2 = 0,5, c = -5$

Б) $x_2 = -0,5, c = 5$

В) $x_2 = 9,5, c = 22,5$

Г) $x_2 = 9,5, c = -22,5$

1. Нахождение значения c
Поскольку число $-5$ является корнем уравнения $2x^2 + 9x + c = 0$, оно должно удовлетворять этому уравнению при подстановке вместо $x$. Выполним подстановку:
$2 \cdot (-5)^2 + 9 \cdot (-5) + c = 0$
$2 \cdot 25 - 45 + c = 0$
$50 - 45 + c = 0$
$5 + c = 0$
$c = -5$

2. Нахождение второго корня уравнения
Теперь, когда мы определили значение $c=-5$, уравнение принимает вид: $2x^2 + 9x - 5 = 0$.
Для нахождения второго корня $x_2$ можно воспользоваться теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
В нашем уравнении коэффициенты равны $a=2$, $b=9$, $c=-5$.
Используем формулу для суммы корней, подставив известный корень $x_1 = -5$:
$-5 + x_2 = -\frac{9}{2}$
$-5 + x_2 = -4.5$
$x_2 = 5 - 4.5$
$x_2 = 0.5$
Для проверки можно использовать формулу произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = (-5) \cdot 0.5 = -2.5$. По формуле это должно быть равно $\frac{c}{a} = \frac{-5}{2} = -2.5$. Равенство выполняется, значит, второй корень найден верно.

Таким образом, второй корень уравнения $x_2 = 0.5$, а значение $c = -5$. Этот результат соответствует варианту ответа А.
Ответ: А) $x_2 = 0.5, c = -5$