Номер 10, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №5 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 10, страница 181.

Условие.

10. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны $3 - \sqrt{2}$

и $3 + \sqrt{2}$.

А) $x^2 + 6x - 7 = 0$

Б) $x^2 - 6x - 7 = 0$

В) $x^2 + 6x + 7 = 0$

Г) $x^2 - 6x + 7 = 0$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Решение 8.

Для того чтобы составить квадратное уравнение, зная его корни, удобно использовать теорему Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — корни, выполняются следующие равенства:

• Сумма корней равна второму коэффициенту ($p$), взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.
• Произведение корней равно свободному члену ($q$): $x_1 \cdot x_2 = q$.

Таким образом, зная корни, можно составить уравнение по формуле: $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$.

В нашей задаче корни равны $x_1 = 3 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{2}$.

1. Вычислим сумму корней:

$x_1 + x_2 = (3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2}) = 3 + 3 - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 6$.

2. Вычислим произведение корней:

Для этого воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$x_1 \cdot x_2 = (3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$.

3. Составим квадратное уравнение:

Подставим найденные значения суммы (6) и произведения (7) в формулу:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$

$x^2 - 6x + 7 = 0$

Полученное уравнение соответствует варианту ответа Г).

Ответ: Г) $x^2 - 6x + 7 = 0$