Номер 4, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 4, страница 184.

Условие.

4. В каком случае квадратный трёхчлен не имеет корней; имеет один корень? Имеет два корня?

Решение 2.

Решение 8.

Количество корней квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ (где $a \neq 0$) зависит от знака его дискриминанта $D$. Дискриминант вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. В зависимости от значения $D$ возможны три случая.

не имеет корней
Квадратный трёхчлен не имеет действительных (вещественных) корней, если его дискриминант является отрицательным числом. При $D < 0$ выражение под знаком корня в формуле для нахождения корней становится отрицательным, а извлечение квадратного корня из отрицательного числа в области действительных чисел невозможно. График соответствующей параболы $y = ax^2 + bx + c$ в этом случае не пересекает и не касается оси абсцисс (оси Ox).
Ответ: при $D < 0$.

имеет один корень
Квадратный трёхчлен имеет ровно один корень (также говорят "два совпадающих корня" или "корень кратности 2"), если его дискриминант равен нулю. При $D = 0$ формула корней принимает вид $x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}$, что дает единственное значение $x = -\frac{b}{2a}$. Графически это означает, что вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$ лежит на оси абсцисс (оси Ox), то есть парабола касается оси в одной точке.
Ответ: при $D = 0$.

Имеет два корня
Квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня, если его дискриминант является положительным числом. При $D > 0$ значение $\sqrt{D}$ является действительным положительным числом, и мы получаем два разных корня по формулам:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$.
График параболы $y = ax^2 + bx + c$ в этом случае пересекает ось абсцисс (ось Ox) в двух различных точках.
Ответ: при $D > 0$.