Номер 6, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Вопросы - номер 6, страница 184.

Условие.

6. По какой формуле квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители?

Решение 2.

Решение 8.

Квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на линейные множители, если соответствующее ему квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни. Условием наличия действительных корней является неотрицательность дискриминанта: $D = b^2 - 4ac \ge 0$.

Формула для разложения квадратного трёхчлена на линейные множители выглядит следующим образом:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

В этой формуле:

• $a$ — старший коэффициент трёхчлена (число, стоящее перед $x^2$).
• $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, которые находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Порядок действий для разложения:

1. Для заданного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ составить и решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Найти дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
3. Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и разложить трёхчлен на линейные множители с действительными коэффициентами невозможно.
4. Если $D \ge 0$, найти корни $x_1$ и $x_2$.
   • При $D > 0$ будет два различных корня.
   • При $D = 0$ будет один корень (или два одинаковых), то есть $x_1 = x_2$. В этом случае формула примет вид $a(x-x_1)^2$.
5. Подставить найденные корни $x_1$, $x_2$ и коэффициент $a$ в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Пример:

Разложим на множители трёхчлен $3x^2 - 8x + 4$.

1. Решаем уравнение $3x^2 - 8x + 4 = 0$.
Здесь $a = 3$, $b = -8$, $c = 4$.

2. Вычисляем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$.

3. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

4. Находим корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

5. Подставляем значения $a=3$, $x_1=2$ и $x_2=\frac{2}{3}$ в формулу:
$3x^2 - 8x + 4 = 3(x - 2)(x - \frac{2}{3})$.

Чтобы получить более красивый вид без дробей, можно умножить множитель $3$ на вторую скобку:

$3(x - 2)(x - \frac{2}{3}) = (x - 2)(3 \cdot x - 3 \cdot \frac{2}{3}) = (x - 2)(3x - 2)$.

Ответ: Квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ раскладывается на линейные множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a$ — старший коэффициент, а $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения. Такое разложение возможно, если дискриминант уравнения $D = b^2 - 4ac$ является неотрицательным ($D \ge 0$).