Номер 11, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №5 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 11, страница 181.

Условие.

11. Решите уравнение $x|x| - 9x - 10 = 0$.

А) $-1; 10; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$

В) $-1; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}$

Б) $10; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$

Г) $-1; 10$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Решение 8.

Данное уравнение $x|x| - 9x - 10 = 0$ содержит модуль, поэтому для его решения необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака переменной x.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$ модуль раскрывается как $|x| = x$. Подставим это в уравнение:
$x \cdot x - 9x - 10 = 0$
$x^2 - 9x - 10 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
$a=1, b=-9, c=-10$
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121$
$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 0$.
Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет условию $10 \ge 0$, поэтому он является решением исходного уравнения.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, поэтому он не является решением.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$ модуль раскрывается как $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:
$x \cdot (-x) - 9x - 10 = 0$
$-x^2 - 9x - 10 = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:
$x^2 + 9x + 10 = 0$
Решим его с помощью дискриминанта:
$a=1, b=9, c=10$
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 81 - 40 = 41$
$\sqrt{D} = \sqrt{41}$
Найдем корни:
$x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$
$x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}$
Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x < 0$.
Для корня $x_3 = \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$: так как $\sqrt{36} < \sqrt{41} < \sqrt{49}$, то $6 < \sqrt{41} < 7$. Значит, числитель $-9 + \sqrt{41}$ является отрицательным числом. Следовательно, $x_3 < 0$, и этот корень является решением.
Для корня $x_4 = \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}$: числитель является суммой двух отрицательных чисел, поэтому весь корень очевидно меньше нуля. Следовательно, $x_4 < 0$, и этот корень также является решением.

Итог

Объединяя все найденные решения из обоих случаев, получаем три корня уравнения: $10$, $\frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$ и $\frac{-9 - \sqrt{41}}{2}$.
Этот набор корней соответствует варианту ответа Б.

Ответ: Б) $10; \frac{-9 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-9 + \sqrt{41}}{2}$