Номер 5, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Вопросы - номер 5, страница 184.

Условие.

5. В каком случае квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители?

Решение 2.

Решение 8.

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ – переменная, а $a$, $b$, и $c$ – числовые коэффициенты, причём $a \neq 0$.

Разложить квадратный трёхчлен на линейные множители означает представить его в виде произведения $a(x - x_1)(x - x_2)$. Числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Следовательно, возможность разложения трёхчлена на линейные множители напрямую зависит от того, имеет ли это уравнение действительные корни. Наличие действительных корней определяется знаком дискриминанта $D$, который вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Существуют три возможных случая:

• Если дискриминант положителен ($D > 0$), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня ($x_1$ и $x_2$). В этом случае трёхчлен раскладывается на два различных линейных множителя: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
• Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), то уравнение имеет один действительный корень (или два равных корня: $x_1 = x_2$). В этом случае трёхчлен также раскладывается на линейные множители, которые оказываются одинаковыми: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$.
• Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), то квадратное уравнение не имеет действительных корней. В этом случае разложить квадратный трёхчлен на линейные множители (с действительными коэффициентами) невозможно.

Объединяя первые два случая, мы приходим к выводу, что квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители тогда и только тогда, когда его дискриминант является неотрицательным.

Ответ: Квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители в том случае, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.