Номер 754, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Упражнения - номер 754, страница 185.

Условие.

754. Разложите на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - 3x - 18;$

2) $x^2 + 5x - 14;$

3) $-x^2 + 3x + 4;$

4) $5x^2 + 8x - 4;$

5) $2a^2 - 3a + 1;$

6) $4b^2 - 11b - 3;$

7) $-\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3;$

8) $0,3m^2 - 3m + 7,5;$

9) $x^2 - 2x - 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на линейные множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, которое решается через дискриминант $D = b^2 - 4ac$ и формулу корней $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

1) $x^2 - 3x - 18$

Найдём корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-3, c=-18$.
Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.
Корни: $x_{1} = \frac{3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{3 + 9}{2} = 6$; $x_{2} = \frac{3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{3 - 9}{2} = -3$.
Разложение: $x^2 - 3x - 18 = 1 \cdot (x - 6)(x - (-3)) = (x - 6)(x + 3)$.
Ответ: $(x - 6)(x + 3)$.

2) $x^2 + 5x - 14$

Найдём корни уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=5, c=-14$.
Дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Корни: $x_{1} = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2$; $x_{2} = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = -7$.
Разложение: $x^2 + 5x - 14 = 1 \cdot (x - 2)(x - (-7)) = (x - 2)(x + 7)$.
Ответ: $(x - 2)(x + 7)$.

3) $-x^2 + 3x + 4$

Найдём корни уравнения $-x^2 + 3x + 4 = 0$.
Коэффициенты: $a=-1, b=3, c=4$.
Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4 = 9 + 16 = 25$.
Корни: $x_{1} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3 + 5}{-2} = -1$; $x_{2} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot (-1)} = \frac{-8}{-2} = 4$.
Разложение: $-x^2 + 3x + 4 = -1 \cdot (x - (-1))(x - 4) = -(x + 1)(x - 4)$.
Ответ: $-(x + 1)(x - 4)$.

4) $5x^2 + 8x - 4$

Найдём корни уравнения $5x^2 + 8x - 4 = 0$.
Коэффициенты: $a=5, b=8, c=-4$.
Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144$.
Корни: $x_{1} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{-8 + 12}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$; $x_{2} = \frac{-8 - 12}{10} = \frac{-20}{10} = -2$.
Разложение: $5x^2 + 8x - 4 = 5(x - \frac{2}{5})(x - (-2)) = 5(x - \frac{2}{5})(x + 2) = (5x - 2)(x + 2)$.
Ответ: $(5x - 2)(x + 2)$.

5) $2a^2 - 3a + 1$

Найдём корни уравнения $2a^2 - 3a + 1 = 0$ относительно переменной $a$.
Коэффициенты: $a_{coeff}=2, b_{coeff}=-3, c_{coeff}=1$.
Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Корни: $a_{1} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$; $a_{2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Разложение: $2a^2 - 3a + 1 = 2(a - 1)(a - \frac{1}{2}) = (a - 1)(2a - 1)$.
Ответ: $(a - 1)(2a - 1)$.

6) $4b^2 - 11b - 3$

Найдём корни уравнения $4b^2 - 11b - 3 = 0$ относительно переменной $b$.
Коэффициенты: $a=4, b=-11, c=-3$.
Дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169$.
Корни: $b_{1} = \frac{11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 13}{8} = 3$; $b_{2} = \frac{11 - 13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Разложение: $4b^2 - 11b - 3 = 4(b - 3)(b - (-\frac{1}{4})) = 4(b - 3)(b + \frac{1}{4}) = (b - 3)(4b + 1)$.
Ответ: $(b - 3)(4b + 1)$.

7) $-\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3$

Найдём корни уравнения $-\frac{1}{4}x^2 - 2x - 3 = 0$. Старший коэффициент $a = -\frac{1}{4}$.
Для удобства решения умножим уравнение на $-4$, получим $x^2 + 8x + 12 = 0$.
Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$.
Корни: $x_{1} = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2} = -2$; $x_{2} = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2} = -6$.
Разложение (используя исходный коэффициент $a = -\frac{1}{4}$): $-\frac{1}{4}(x - (-2))(x - (-6)) = -\frac{1}{4}(x + 2)(x + 6)$.
Ответ: $-\frac{1}{4}(x + 2)(x + 6)$.

8) $0.3m^2 - 3m + 7.5$

Найдём корни уравнения $0.3m^2 - 3m + 7.5 = 0$ относительно переменной $m$. Старший коэффициент $a=0.3$.
Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 0.3 \cdot 7.5 = 9 - 1.2 \cdot 7.5 = 9 - 9 = 0$.
Так как $D=0$, уравнение имеет один корень (кратности 2): $m = \frac{-(-3)}{2 \cdot 0.3} = \frac{3}{0.6} = 5$.
Разложение: $0.3(m-5)(m-5) = 0.3(m-5)^2$.
Ответ: $0.3(m-5)^2$.

9) $x^2 - 2x - 2$

Найдём корни уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=1, b=-2, c=-2$.
Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
$x_1 = 1 + \sqrt{3}$; $x_2 = 1 - \sqrt{3}$.
Разложение: $1 \cdot (x - (1 + \sqrt{3}))(x - (1 - \sqrt{3})) = (x - 1 - \sqrt{3})(x - 1 + \sqrt{3})$.
Ответ: $(x - 1 - \sqrt{3})(x - 1 + \sqrt{3})$.