Номер 751, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Упражнения - номер 751, страница 184.

Условие.

751. Найдите корни квадратного трёхчлена:

1) $x^2 - x - 12;$

2) $x^2 + 2x - 35;$

3) $3x^2 - 16x + 5;$

4) $16x^2 - 24x + 3;$

5) $4x^2 + 28x + 49;$

6) $3x^2 + 21x - 90.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

1) $x^2 - x - 12$

Приравняем трехчлен к нулю: $x^2 - x - 12 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=-1, c=-12$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Ответ: $-3; 4$.

2) $x^2 + 2x - 35$

Приравняем трехчлен к нулю: $x^2 + 2x - 35 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=2, c=-35$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$.

Ответ: $-7; 5$.

3) $3x^2 - 16x + 5$

Приравняем трехчлен к нулю: $3x^2 - 16x + 5 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=3, b=-16, c=5$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 256 - 60 = 196$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-16) + 14}{2 \cdot 3} = \frac{16 + 14}{6} = \frac{30}{6} = 5$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-16) - 14}{2 \cdot 3} = \frac{16 - 14}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}; 5$.

4) $16x^2 - 24x + 3$

Приравняем трехчлен к нулю: $16x^2 - 24x + 3 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=16, b=-24, c=3$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 3 = 576 - 192 = 384$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-24) \pm 8\sqrt{6}}{2 \cdot 16} = \frac{24 \pm 8\sqrt{6}}{32}$.

Сократим дробь на 8: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{3 - \sqrt{6}}{4}; \frac{3 + \sqrt{6}}{4}$.

5) $4x^2 + 28x + 49$

Приравняем трехчлен к нулю: $4x^2 + 28x + 49 = 0$.

Можно заметить, что этот трехчлен является полным квадратом:

$4x^2 + 28x + 49 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 7 + 7^2 = (2x+7)^2$.

Тогда уравнение принимает вид $(2x+7)^2 = 0$.

$2x + 7 = 0$

$2x = -7$

$x = -\frac{7}{2} = -3.5$.

Также можно решить через дискриминант:

$a=4, b=28, c=49$.

$D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 4 \cdot 49 = 784 - 16 \cdot 49 = 784 - 784 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень:

$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-28}{2 \cdot 4} = \frac{-28}{8} = -\frac{7}{2} = -3.5$.

Ответ: $-3.5$.

6) $3x^2 + 21x - 90$

Приравняем трехчлен к нулю: $3x^2 + 21x - 90 = 0$.

Заметим, что все коэффициенты делятся на 3. Упростим уравнение, разделив обе части на 3:

$x^2 + 7x - 30 = 0$.

Коэффициенты полученного уравнения: $a=1, b=7, c=-30$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$.

Ответ: $-10; 3$.