Номер 755, страница 185 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Упражнения - номер 755, страница 185.

Условие.

755. Сократите дробь:

1) $ \frac{x^2 + x - 6}{x + 3}; $

2) $ \frac{x - 4}{x^2 - 10x + 24}; $

3) $ \frac{3x - 15}{x^2 - x - 20}; $

4) $ \frac{x^2 - 3x + 2}{6x - 6}; $

5) $ \frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 3x}; $

6) $ \frac{x^2 + 4x}{x^2 + 2x - 8}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{x^2 + x - 6}{x + 3}$

Для того чтобы сократить дробь, разложим числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$; $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$.

Квадратный трехчлен $ax^2+bx+c$ раскладывается на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$. Следовательно, $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x - (-3)) = (x - 2)(x + 3)$.

Подставим разложение в исходную дробь:

$\frac{(x - 2)(x + 3)}{x + 3}$

Сократим общий множитель $(x + 3)$, при условии что $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

$\frac{(x - 2)\cancel{(x + 3)}}{\cancel{x + 3}} = x - 2$

Ответ: $x-2$

2) $\frac{x - 4}{x^2 - 10x + 24}$

Разложим на множители знаменатель, решив квадратное уравнение $x^2 - 10x + 24 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 10$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 24$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 6$.

Следовательно, знаменатель раскладывается на множители: $x^2 - 10x + 24 = (x - 4)(x - 6)$.

Подставим разложение в дробь:

$\frac{x - 4}{(x - 4)(x - 6)}$

Сократим общий множитель $(x - 4)$, при условии что $x - 4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$.

$\frac{\cancel{x - 4}}{\cancel{(x - 4)}(x - 6)} = \frac{1}{x - 6}$

Ответ: $\frac{1}{x - 6}$

3) $\frac{3x - 15}{x^2 - x - 20}$

Сначала вынесем общий множитель за скобки в числителе: $3x - 15 = 3(x - 5)$.

Теперь разложим на множители знаменатель, решив уравнение $x^2 - x - 20 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -20$

Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -4$.

Разложение знаменателя: $x^2 - x - 20 = (x - 5)(x - (-4)) = (x - 5)(x + 4)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{3(x - 5)}{(x - 5)(x + 4)}$

Сократим общий множитель $(x - 5)$, при условии что $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.

$\frac{3\cancel{(x - 5)}}{\cancel{(x - 5)}(x + 4)} = \frac{3}{x + 4}$

Ответ: $\frac{3}{x + 4}$

4) $\frac{x^2 - 3x + 2}{6x - 6}$

Разложим на множители числитель, решив уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 3$

$x_1 \cdot x_2 = 2$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Разложение числителя: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Вынесем общий множитель в знаменателе: $6x - 6 = 6(x - 1)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(x - 1)(x - 2)}{6(x - 1)}$

Сократим общий множитель $(x - 1)$, при условии что $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

$\frac{\cancel{(x - 1)}(x - 2)}{6\cancel{(x - 1)}} = \frac{x - 2}{6}$

Ответ: $\frac{x - 2}{6}$

5) $\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 3x}$

Разложим на множители числитель, решив уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = 12$

Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Разложение числителя: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$.

Вынесем общий множитель в знаменателе: $x^2 - 3x = x(x - 3)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(x - 3)(x - 4)}{x(x - 3)}$

Сократим общий множитель $(x - 3)$, при условии что $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

$\frac{\cancel{(x - 3)}(x - 4)}{x\cancel{(x - 3)}} = \frac{x - 4}{x}$

Ответ: $\frac{x - 4}{x}$

6) $\frac{x^2 + 4x}{x^2 + 2x - 8}$

Вынесем общий множитель в числителе: $x^2 + 4x = x(x + 4)$.

Разложим на множители знаменатель, решив уравнение $x^2 + 2x - 8 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Разложение знаменателя: $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x - (-4)) = (x - 2)(x + 4)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{x(x + 4)}{(x - 2)(x + 4)}$

Сократим общий множитель $(x + 4)$, при условии что $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.

$\frac{x\cancel{(x + 4)}}{(x - 2)\cancel{(x + 4)}} = \frac{x}{x - 2}$

Ответ: $\frac{x}{x - 2}$