Номер 7, страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 22. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 7, страница 184.

Условие.

7. В каком случае квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители?

Решение 2.

Решение 8.

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.

Возможность разложения квадратного трёхчлена на линейные множители напрямую связана с наличием у него действительных корней. Если квадратный трёхчлен имеет корни $x_1$ и $x_2$, то его можно разложить на множители по следующей формуле:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

где $(x - x_1)$ и $(x - x_2)$ являются линейными множителями. Корни находятся путём решения соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Количество действительных корней уравнения зависит от знака его дискриминанта $D$, который вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

Существует три возможных случая в зависимости от знака дискриминанта:

1. Если дискриминант положительный ($D > 0$), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня ($x_1$ и $x_2$). В этом случае квадратный трёхчлен раскладывается на два различных линейных множителя: $a(x - x_1)(x - x_2)$.

2. Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), то квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня $x_1 = x_2$). В этом случае трёхчлен также раскладывается на линейные множители, которые являются одинаковыми: $a(x - x_1)^2$.

3. Если дискриминант отрицательный ($D < 0$), то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не существует таких действительных чисел $x_1$ и $x_2$, чтобы можно было выполнить разложение. Это означает, что в поле действительных чисел квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители.

Таким образом, единственный случай, когда квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители, — это когда его дискриминант отрицателен.

Ответ: Квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители (в множестве действительных чисел), если его дискриминант, вычисляемый по формуле $D = b^2 - 4ac$, является отрицательным числом ($D < 0$).