Страница 184 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какой многочлен называют квадратным трёхчленом?

1. Квадратным трёхчленом называют многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — это переменная, а $a, b$ и $c$ — некоторые числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Название «квадратный трёхчлен» полностью описывает его структуру:
• Квадратный — потому что наибольшая степень переменной $x$ в многочлене равна 2 (т.е. $x$ в квадрате). Именно условие $a \neq 0$ обеспечивает наличие этого члена и делает многочлен квадратным.
• Трёхчлен — потому что в общем виде он состоит из трёх слагаемых (одночленов): $ax^2$ (квадратичный член), $bx$ (линейный член) и $c$ (свободный член). При этом коэффициенты $b$ и $c$ могут быть равны нулю, в этом случае трёхчлен называют неполным.

Примеры квадратных трёхчленов:
– $3x^2 - 7x + 2$ (полный квадратный трёхчлен, где $a=3, b=-7, c=2$)
– $5x^2 - 20$ (неполный квадратный трёхчлен, где $a=5, b=0, c=-20$)
– $-x^2 + 9x$ (неполный квадратный трёхчлен, где $a=-1, b=9, c=0$)

Ответ: Квадратным трёхчленом является многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, $a, b, c$ — числовые коэффициенты, и $a \neq 0$.

2. Что называют корнем квадратного трёхчлена?

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (называемые коэффициентами), причём главный коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Корнем квадратного трёхчлена называется такое значение переменной $x$, при котором значение этого трёхчлена равно нулю.

Таким образом, чтобы найти корни квадратного трёхчлена, необходимо решить соответствующее ему квадратное уравнение:$$ax^2 + bx + c = 0$$Решения (или корни) этого уравнения и будут являться корнями исходного квадратного трёхчлена. В зависимости от значения дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$), квадратный трёхчлен может иметь:

• Два различных действительных корня, если $D > 0$.
• Один действительный корень (или два совпадающих корня), если $D = 0$.
• Не иметь действительных корней, если $D < 0$.

Пример:
Рассмотрим квадратный трёхчлен $x^2 - 2x - 8$.
Чтобы найти его корни, приравняем его к нулю:$x^2 - 2x - 8 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Так как $D > 0$, у трёхчлена есть два корня. Найдём их по формуле корней квадратного уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Проверим:

• При $x = -2$: $(-2)^2 - 2(-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$.
• При $x = 4$: $4^2 - 2(4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0$.

Значения $-2$ и $4$ обращают трёхчлен в ноль, значит, они являются его корнями.

Ответ: Корнем квадратного трёхчлена называют значение переменной, при котором значение этого трёхчлена равно нулю.

3. Что называют дискриминантом квадратного трёхчлена?

3. Что называют дискриминантом квадратного трёхчлена?

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, причём коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$).

Дискриминантом (от латинского discriminans — «различающий») квадратного трёхчлена называют специальное выражение, которое составляется из его коэффициентов. Дискриминант обычно обозначается буквой $D$ и вычисляется по следующей формуле:

$D = b^2 - 4ac$

Главная роль дискриминанта заключается в том, чтобы определять количество и природу корней соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, не находя сами корни. В зависимости от знака дискриминанта возможны три случая:

• Если $D > 0$ (дискриминант положителен), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$ (дискриминант равен нулю), то квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень (его также называют корнем кратности 2 или двумя совпадающими корнями).
• Если $D < 0$ (дискриминант отрицателен), то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Его корни являются комплексными числами.

Таким образом, вычисление дискриминанта — это первый и ключевой шаг в анализе квадратного уравнения, который сразу даёт информацию о его решениях.

Ответ: Дискриминантом квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ называют величину $D$, вычисляемую по формуле $D = b^2 - 4ac$.

4. В каком случае квадратный трёхчлен не имеет корней; имеет один корень? Имеет два корня?

Количество корней квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ (где $a \neq 0$) зависит от знака его дискриминанта $D$. Дискриминант вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. В зависимости от значения $D$ возможны три случая.

не имеет корней
Квадратный трёхчлен не имеет действительных (вещественных) корней, если его дискриминант является отрицательным числом. При $D < 0$ выражение под знаком корня в формуле для нахождения корней становится отрицательным, а извлечение квадратного корня из отрицательного числа в области действительных чисел невозможно. График соответствующей параболы $y = ax^2 + bx + c$ в этом случае не пересекает и не касается оси абсцисс (оси Ox).
Ответ: при $D < 0$.

имеет один корень
Квадратный трёхчлен имеет ровно один корень (также говорят "два совпадающих корня" или "корень кратности 2"), если его дискриминант равен нулю. При $D = 0$ формула корней принимает вид $x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}$, что дает единственное значение $x = -\frac{b}{2a}$. Графически это означает, что вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$ лежит на оси абсцисс (оси Ox), то есть парабола касается оси в одной точке.
Ответ: при $D = 0$.

Имеет два корня
Квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня, если его дискриминант является положительным числом. При $D > 0$ значение $\sqrt{D}$ является действительным положительным числом, и мы получаем два разных корня по формулам:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$.
График параболы $y = ax^2 + bx + c$ в этом случае пересекает ось абсцисс (ось Ox) в двух различных точках.
Ответ: при $D > 0$.

5. В каком случае квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители?

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ – переменная, а $a$, $b$, и $c$ – числовые коэффициенты, причём $a \neq 0$.

Разложить квадратный трёхчлен на линейные множители означает представить его в виде произведения $a(x - x_1)(x - x_2)$. Числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Следовательно, возможность разложения трёхчлена на линейные множители напрямую зависит от того, имеет ли это уравнение действительные корни. Наличие действительных корней определяется знаком дискриминанта $D$, который вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Существуют три возможных случая:

• Если дискриминант положителен ($D > 0$), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня ($x_1$ и $x_2$). В этом случае трёхчлен раскладывается на два различных линейных множителя: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
• Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), то уравнение имеет один действительный корень (или два равных корня: $x_1 = x_2$). В этом случае трёхчлен также раскладывается на линейные множители, которые оказываются одинаковыми: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$.
• Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), то квадратное уравнение не имеет действительных корней. В этом случае разложить квадратный трёхчлен на линейные множители (с действительными коэффициентами) невозможно.

Объединяя первые два случая, мы приходим к выводу, что квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители тогда и только тогда, когда его дискриминант является неотрицательным.

Ответ: Квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители в том случае, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

6. По какой формуле квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители?

Квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на линейные множители, если соответствующее ему квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни. Условием наличия действительных корней является неотрицательность дискриминанта: $D = b^2 - 4ac \ge 0$.

Формула для разложения квадратного трёхчлена на линейные множители выглядит следующим образом:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

В этой формуле:

• $a$ — старший коэффициент трёхчлена (число, стоящее перед $x^2$).
• $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, которые находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Порядок действий для разложения:

1. Для заданного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ составить и решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Найти дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
3. Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и разложить трёхчлен на линейные множители с действительными коэффициентами невозможно.
4. Если $D \ge 0$, найти корни $x_1$ и $x_2$.
   • При $D > 0$ будет два различных корня.
   • При $D = 0$ будет один корень (или два одинаковых), то есть $x_1 = x_2$. В этом случае формула примет вид $a(x-x_1)^2$.
5. Подставить найденные корни $x_1$, $x_2$ и коэффициент $a$ в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$.

Пример:

Разложим на множители трёхчлен $3x^2 - 8x + 4$.

1. Решаем уравнение $3x^2 - 8x + 4 = 0$.
Здесь $a = 3$, $b = -8$, $c = 4$.

2. Вычисляем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$.

3. Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

4. Находим корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

5. Подставляем значения $a=3$, $x_1=2$ и $x_2=\frac{2}{3}$ в формулу:
$3x^2 - 8x + 4 = 3(x - 2)(x - \frac{2}{3})$.

Чтобы получить более красивый вид без дробей, можно умножить множитель $3$ на вторую скобку:

$3(x - 2)(x - \frac{2}{3}) = (x - 2)(3 \cdot x - 3 \cdot \frac{2}{3}) = (x - 2)(3x - 2)$.

Ответ: Квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ раскладывается на линейные множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a$ — старший коэффициент, а $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения. Такое разложение возможно, если дискриминант уравнения $D = b^2 - 4ac$ является неотрицательным ($D \ge 0$).

7. В каком случае квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители?

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.

Возможность разложения квадратного трёхчлена на линейные множители напрямую связана с наличием у него действительных корней. Если квадратный трёхчлен имеет корни $x_1$ и $x_2$, то его можно разложить на множители по следующей формуле:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

где $(x - x_1)$ и $(x - x_2)$ являются линейными множителями. Корни находятся путём решения соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Количество действительных корней уравнения зависит от знака его дискриминанта $D$, который вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

Существует три возможных случая в зависимости от знака дискриминанта:

1. Если дискриминант положительный ($D > 0$), то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня ($x_1$ и $x_2$). В этом случае квадратный трёхчлен раскладывается на два различных линейных множителя: $a(x - x_1)(x - x_2)$.

2. Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), то квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня $x_1 = x_2$). В этом случае трёхчлен также раскладывается на линейные множители, которые являются одинаковыми: $a(x - x_1)^2$.

3. Если дискриминант отрицательный ($D < 0$), то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не существует таких действительных чисел $x_1$ и $x_2$, чтобы можно было выполнить разложение. Это означает, что в поле действительных чисел квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители.

Таким образом, единственный случай, когда квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители, — это когда его дискриминант отрицателен.

Ответ: Квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители (в множестве действительных чисел), если его дискриминант, вычисляемый по формуле $D = b^2 - 4ac$, является отрицательным числом ($D < 0$).

751. Найдите корни квадратного трёхчлена:

1) $x^2 - x - 12;$

2) $x^2 + 2x - 35;$

3) $3x^2 - 16x + 5;$

4) $16x^2 - 24x + 3;$

5) $4x^2 + 28x + 49;$

6) $3x^2 + 21x - 90.$

Чтобы найти корни квадратного трехчлена, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

1) $x^2 - x - 12$

Приравняем трехчлен к нулю: $x^2 - x - 12 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=-1, c=-12$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Ответ: $-3; 4$.

2) $x^2 + 2x - 35$

Приравняем трехчлен к нулю: $x^2 + 2x - 35 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1, b=2, c=-35$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$.

Ответ: $-7; 5$.

3) $3x^2 - 16x + 5$

Приравняем трехчлен к нулю: $3x^2 - 16x + 5 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=3, b=-16, c=5$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 256 - 60 = 196$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-16) + 14}{2 \cdot 3} = \frac{16 + 14}{6} = \frac{30}{6} = 5$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-16) - 14}{2 \cdot 3} = \frac{16 - 14}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}; 5$.

4) $16x^2 - 24x + 3$

Приравняем трехчлен к нулю: $16x^2 - 24x + 3 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=16, b=-24, c=3$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 3 = 576 - 192 = 384$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}$.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-24) \pm 8\sqrt{6}}{2 \cdot 16} = \frac{24 \pm 8\sqrt{6}}{32}$.

Сократим дробь на 8: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\frac{3 - \sqrt{6}}{4}; \frac{3 + \sqrt{6}}{4}$.

5) $4x^2 + 28x + 49$

Приравняем трехчлен к нулю: $4x^2 + 28x + 49 = 0$.

Можно заметить, что этот трехчлен является полным квадратом:

$4x^2 + 28x + 49 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 7 + 7^2 = (2x+7)^2$.

Тогда уравнение принимает вид $(2x+7)^2 = 0$.

$2x + 7 = 0$

$2x = -7$

$x = -\frac{7}{2} = -3.5$.

Также можно решить через дискриминант:

$a=4, b=28, c=49$.

$D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 4 \cdot 49 = 784 - 16 \cdot 49 = 784 - 784 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень:

$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-28}{2 \cdot 4} = \frac{-28}{8} = -\frac{7}{2} = -3.5$.

Ответ: $-3.5$.

6) $3x^2 + 21x - 90$

Приравняем трехчлен к нулю: $3x^2 + 21x - 90 = 0$.

Заметим, что все коэффициенты делятся на 3. Упростим уравнение, разделив обе части на 3:

$x^2 + 7x - 30 = 0$.

Коэффициенты полученного уравнения: $a=1, b=7, c=-30$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$.

Ответ: $-10; 3$.