Страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

710. Применяя теорему, обратную теореме Виета, определите, являются ли корнями уравнения:

1) $x^2 + 2x - 3 = 0$ числа 1 и -2;

2) $x^2 + 5x + 6 = 0$ числа -2 и -3.

Теорема, обратная теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ утверждает, что если числа $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то они являются корнями этого уравнения.

1) Проверим, являются ли числа $1$ и $-2$ корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$.

В данном уравнении коэффициенты: $p = 2$, $q = -3$.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, должны выполняться два равенства:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$. Проверяем: $1 + (-2) = -1$. Требуемое значение: $-p = -2$. Так как $-1 \neq -2$, условие не выполняется.

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$. Проверяем: $1 \cdot (-2) = -2$. Требуемое значение: $q = -3$. Так как $-2 \neq -3$, это условие также не выполняется.

Поскольку условия теоремы не выполняются, данные числа не являются корнями уравнения.

Ответ: не являются.

2) Проверим, являются ли числа $-2$ и $-3$ корнями уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$.

В данном уравнении коэффициенты: $p = 5$, $q = 6$.

Проверим выполнение равенств:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$. Проверяем: $(-2) + (-3) = -5$. Требуемое значение: $-p = -5$. Равенство $-5 = -5$ выполняется.

2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$. Проверяем: $(-2) \cdot (-3) = 6$. Требуемое значение: $q = 6$. Равенство $6 = 6$ выполняется.

Так как оба условия выполняются, данные числа являются корнями уравнения.

Ответ: являются.

711. Найдите коэффициенты $b$ и $c$ уравнения $x^2 + bx + c = 0$, если его корнями являются числа:

1) -8 и 6;

2) 4 и 5.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$. Уравнение называется приведенным, так как коэффициент при $x^2$ равен 1.

Согласно теореме Виета:

• Сумма корней уравнения ($x_1 + x_2$) равна коэффициенту $b$, взятому с противоположным знаком.
• Произведение корней ($x_1 \cdot x_2$) равно свободному члену $c$.

Таким образом, мы имеем систему соотношений:

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = c$

Подставим известные значения корней для каждого случая.

1) Корнями уравнения являются числа $-8$ и $6$.

Пусть $x_1 = -8$ и $x_2 = 6$.

Найдем коэффициент $b$, используя формулу для суммы корней:

$-b = x_1 + x_2 = -8 + 6 = -2$

Из этого следует, что $b = 2$.

Найдем коэффициент $c$, используя формулу для произведения корней:

$c = x_1 \cdot x_2 = (-8) \cdot 6 = -48$

Уравнение принимает вид: $x^2 + 2x - 48 = 0$.

Ответ: $b = 2, c = -48$.

2) Корнями уравнения являются числа $4$ и $5$.

Пусть $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$.

Найдем коэффициент $b$:

$-b = x_1 + x_2 = 4 + 5 = 9$

Из этого следует, что $b = -9$.

Найдем коэффициент $c$:

$c = x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot 5 = 20$

Уравнение принимает вид: $x^2 - 9x + 20 = 0$.

Ответ: $b = -9, c = 20$.

712. Найдите коэффициенты $b$ и $c$ уравнения $x^2 + bx + c = 0$, если его корнями являются числа:

1) -2 и 0,5;

2) -10 и -20.

Для нахождения коэффициентов $b$ и $c$ квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$, зная его корни, удобно использовать теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения (коэффициент при $x^2$ равен 1) теорема Виета гласит:

• Сумма корней уравнения ($x_1 + x_2$) равна второму коэффициенту ($b$) с противоположным знаком.
• Произведение корней уравнения ($x_1 \cdot x_2$) равно свободному члену ($c$).

Математически это записывается так:

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = c$

Используем эти формулы для решения задачи.

1)

Даны корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 0,5$.

Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = -2 + 0,5 = -1,5$

Согласно теореме Виета, $x_1 + x_2 = -b$. Следовательно:

$-1,5 = -b$

$b = 1,5$

Теперь найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = -2 \cdot 0,5 = -1$

Согласно теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = c$. Следовательно:

$c = -1$

Ответ: $b = 1,5$, $c = -1$.

2)

Даны корни уравнения: $x_1 = -10$ и $x_2 = -20$.

Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = -10 + (-20) = -30$

Подставим это значение в формулу $x_1 + x_2 = -b$:

$-30 = -b$

$b = 30$

Теперь найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = (-10) \cdot (-20) = 200$

Подставим это значение в формулу $x_1 \cdot x_2 = c$:

$c = 200$

Ответ: $b = 30$, $c = 200$.

713. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1) 2 и 5;

2) $-\frac{1}{3}$ и 2;

3) -0,2 и -10;

4) $2-\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$;

5) 0 и 6;

6) $-\sqrt{7}$ и $\sqrt{7}$.

Для составления квадратного уравнения с целыми коэффициентами по его корням $x_1$ и $x_2$ удобно использовать теорему, обратную теореме Виета. Согласно ей, числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями приведённого квадратного уравнения вида $x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$. Если в результате вычислений коэффициенты получаются дробными, то всё уравнение следует домножить на их общий знаменатель, чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами.

1) Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Найдём сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = 2 + 5 = 7$.

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 5 = 10$.

Составим уравнение по формуле $x^2 - Sx + P = 0$:

$x^2 - 7x + 10 = 0$.

Коэффициенты 1, -7, 10 являются целыми, что соответствует условию задачи.

Ответ: $x^2 - 7x + 10 = 0$.

2) Корни уравнения: $x_1 = -\frac{1}{3}$ и $x_2 = 2$.

Найдём сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = -\frac{1}{3} + 2 = -\frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{5}{3}$.

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = -\frac{1}{3} \cdot 2 = -\frac{2}{3}$.

Составим приведённое квадратное уравнение: $x^2 - (\frac{5}{3})x + (-\frac{2}{3}) = 0$, то есть $x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{2}{3} = 0$.

Чтобы коэффициенты стали целыми, умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, то есть на 3:

$3 \cdot (x^2 - \frac{5}{3}x - \frac{2}{3}) = 3 \cdot 0$

$3x^2 - 5x - 2 = 0$.

Коэффициенты 3, -5, -2 являются целыми.

Ответ: $3x^2 - 5x - 2 = 0$.

3) Корни уравнения: $x_1 = -0,2$ и $x_2 = -10$.

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.

Найдём сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = -0,2 + (-10) = -10,2 = -\frac{102}{10} = -\frac{51}{5}$.

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (-0,2) \cdot (-10) = 2$.

Составим уравнение: $x^2 - (-\frac{51}{5})x + 2 = 0$, то есть $x^2 + \frac{51}{5}x + 2 = 0$.

Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части уравнения на 5:

$5 \cdot (x^2 + \frac{51}{5}x + 2) = 5 \cdot 0$

$5x^2 + 51x + 10 = 0$.

Коэффициенты 5, 51, 10 являются целыми.

Ответ: $5x^2 + 51x + 10 = 0$.

4) Корни уравнения: $x_1 = 2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{3}$.

Найдём сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.

Произведение корней (используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$): $P = x_1 \cdot x_2 = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Составим уравнение: $x^2 - 4x + 1 = 0$.

Коэффициенты 1, -4, 1 являются целыми.

Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$.

5) Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Найдём сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = 0 + 6 = 6$.

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot 6 = 0$.

Составим уравнение: $x^2 - 6x + 0 = 0$, то есть $x^2 - 6x = 0$.

Коэффициенты 1, -6, 0 являются целыми.

Ответ: $x^2 - 6x = 0$.

6) Корни уравнения: $x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$.

Найдём сумму и произведение корней:

Сумма корней: $S = x_1 + x_2 = -\sqrt{7} + \sqrt{7} = 0$.

Произведение корней: $P = x_1 \cdot x_2 = (-\sqrt{7})(\sqrt{7}) = -(\sqrt{7})^2 = -7$.

Составим уравнение: $x^2 - 0 \cdot x + (-7) = 0$, то есть $x^2 - 7 = 0$.

Коэффициенты 1, 0, -7 являются целыми.

Ответ: $x^2 - 7 = 0$.

714. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1) $-7$ и $-8$;

2) $5$ и $-0,4$;

3) $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$;

4) $5 - \sqrt{10}$ и $5 + \sqrt{10}$.

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно ей, приведенное квадратное уравнение ($x^2 + px + q = 0$) можно записать через его корни в виде:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$

где $(x_1 + x_2)$ — это сумма корней, а $(x_1 \cdot x_2)$ — их произведение. Если после вычисления коэффициентов они получаются нецелыми, то всё уравнение нужно домножить на такое число, чтобы все коэффициенты стали целыми.

1) Корни уравнения: $x_1 = -7$ и $x_2 = -8$.

Сначала найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = -7 + (-8) = -15$

Затем найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = (-7) \cdot (-8) = 56$

Теперь подставим полученные значения в формулу:

$x^2 - (-15)x + 56 = 0$

$x^2 + 15x + 56 = 0$

Коэффициенты уравнения (1, 15, 56) являются целыми, поэтому это искомое уравнение.

Ответ: $x^2 + 15x + 56 = 0$.

2) Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -0,4$.

Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = 5 + (-0,4) = 4,6$

Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot (-0,4) = -2$

Подставим значения в формулу:

$x^2 - 4,6x - 2 = 0$

Коэффициент $-4,6$ не является целым. Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на 5 (поскольку $4,6 = \frac{46}{10} = \frac{23}{5}$):

$5 \cdot (x^2 - 4,6x - 2) = 5 \cdot 0$

$5x^2 - 23x - 10 = 0$

Теперь все коэффициенты (5, -23, -10) — целые числа.

Ответ: $5x^2 - 23x - 10 = 0$.

3) Корни уравнения: $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.

Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6}$

Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Подставим значения в формулу:

$x^2 - \frac{7}{6}x + \frac{1}{3} = 0$

Коэффициенты не являются целыми. Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (6 и 3), то есть на 6:

$6 \cdot (x^2 - \frac{7}{6}x + \frac{1}{3}) = 6 \cdot 0$

$6x^2 - 7x + 2 = 0$

Теперь все коэффициенты (6, -7, 2) — целые числа.

Ответ: $6x^2 - 7x + 2 = 0$.

4) Корни уравнения: $x_1 = 5 - \sqrt{10}$ и $x_2 = 5 + \sqrt{10}$.

Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = (5 - \sqrt{10}) + (5 + \sqrt{10}) = 10$

Найдем произведение корней, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$x_1 \cdot x_2 = (5 - \sqrt{10})(5 + \sqrt{10}) = 5^2 - (\sqrt{10})^2 = 25 - 10 = 15$

Подставим полученные значения в формулу:

$x^2 - 10x + 15 = 0$

Коэффициенты уравнения (1, -10, 15) являются целыми, поэтому это искомое уравнение.

Ответ: $x^2 - 10x + 15 = 0$.

715. Число $-2$ является корнем уравнения $x^2 - 8x + q = 0$. Найдите значение $q$ и второй корень уравнения.

По условию задачи, число $-2$ является корнем квадратного уравнения $x^2 - 8x + q = 0$. Это означает, что если подставить $x = -2$ в уравнение, мы получим верное числовое равенство. Это позволяет нам найти неизвестный коэффициент $q$.

1. Нахождение значения q

Подставим значение корня $x = -2$ в исходное уравнение:

$(-2)^2 - 8 \cdot (-2) + q = 0$

Выполним арифметические действия:

$4 - (-16) + q = 0$

$4 + 16 + q = 0$

$20 + q = 0$

Выразим $q$ из полученного уравнения:

$q = -20$

Ответ: значение $q$ равно $-20$.

2. Нахождение второго корня уравнения

Теперь, когда мы нашли $q$, наше уравнение имеет вид:

$x^2 - 8x - 20 = 0$

Для нахождения второго корня ($x_2$) можно использовать теорему Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $p = -8$ и $q = -20$. Один из корней, $x_1$, нам известен и равен $-2$. Воспользуемся формулой для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -(-8)$

$-2 + x_2 = 8$

Найдем $x_2$:

$x_2 = 8 + 2$

$x_2 = 10$

Для проверки можно использовать формулу произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = -2 \cdot 10 = -20$, что соответствует значению $q$, которое мы нашли ранее.

Ответ: второй корень уравнения равен 10.

716. Число 7 является корнем уравнения $x^2 + px - 42 = 0$. Найдите значение p и второй корень уравнения.

Нахождение значения p

По условию, число 7 является корнем уравнения $x^2 + px - 42 = 0$. Это означает, что если подставить значение $x = 7$ в уравнение, мы получим верное равенство.

Выполним подстановку:

$7^2 + p \cdot 7 - 42 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно $p$:

$49 + 7p - 42 = 0$

$7p + 7 = 0$

$7p = -7$

$p = \frac{-7}{7}$

$p = -1$

Ответ: $p = -1$.

Нахождение второго корня уравнения

Теперь, когда мы определили, что $p = -1$, мы можем записать уравнение в полном виде:

$x^2 - x - 42 = 0$

Для нахождения второго корня удобно использовать теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + Bx + C = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• $x_1 + x_2 = -B$
• $x_1 \cdot x_2 = C$

В нашем случае $B = -1$ и $C = -42$. Один из корней нам известен: $x_1 = 7$.

Воспользуемся соотношением для произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = -42$

$7 \cdot x_2 = -42$

Отсюда находим второй корень $x_2$:

$x_2 = \frac{-42}{7} = -6$

Для проверки убедимся, что сумма корней также соответствует теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7 + (-6) = 1$. Это соответствует $-B = -(-1) = 1$. Второй корень найден верно.

Ответ: Второй корень уравнения равен -6.

717. Число $\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $6x^2 - bx + 4 = 0$. Найдите значение $b$ и второй корень уравнения.

Поскольку число $\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $6x^2 - bx + 4 = 0$, оно должно обращать это уравнение в верное числовое равенство при подстановке вместо $x$.

Найдем значение b

Подставим значение корня $x = \frac{1}{3}$ в уравнение: $6 \cdot (\frac{1}{3})^2 - b \cdot \frac{1}{3} + 4 = 0$

Выполним вычисления: $6 \cdot \frac{1}{9} - \frac{b}{3} + 4 = 0$ $\frac{6}{9} - \frac{b}{3} + 4 = 0$ Сократим дробь $\frac{6}{9}$ на 3: $\frac{2}{3} - \frac{b}{3} + 4 = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим каждый член уравнения на 3: $3 \cdot \frac{2}{3} - 3 \cdot \frac{b}{3} + 3 \cdot 4 = 0$ $2 - b + 12 = 0$ $14 - b = 0$ $b = 14$

Ответ: значение $b$ равно 14.

Найдем второй корень уравнения

Теперь, зная $b=14$, мы можем записать уравнение полностью: $6x^2 - 14x + 4 = 0$

Для нахождения второго корня ($x_2$) воспользуемся теоремой Виета. Согласно теореме Виета для квадратного уравнения вида $ax^2+kx+c=0$, произведение его корней $x_1$ и $x_2$ равно $\frac{c}{a}$.

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a=6$, $k=-14$, $c=4$. Один из корней нам известен: $x_1 = \frac{1}{3}$. Применим формулу для произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ $\frac{1}{3} \cdot x_2 = \frac{4}{6}$

Упростим правую часть: $\frac{1}{3} \cdot x_2 = \frac{2}{3}$

Чтобы найти $x_2$, разделим обе части равенства на $\frac{1}{3}$ (или умножим на 3): $x_2 = \frac{2}{3} \cdot 3$ $x_2 = 2$

Ответ: второй корень уравнения равен 2.

718. Число -0,2 является корнем уравнения $4x^2 - 5.6x + m = 0$. Найдите значение m и второй корень уравнения.

Найдите значение m

Поскольку число $-0,2$ является корнем уравнения $4x^2 - 5,6x + m = 0$, то при подстановке этого значения вместо $x$ уравнение обратится в верное числовое равенство. Подставим $x = -0,2$ в данное уравнение:

$4 \cdot (-0,2)^2 - 5,6 \cdot (-0,2) + m = 0$

Выполним последовательно все вычисления:

$4 \cdot 0,04 - 5,6 \cdot (-0,2) + m = 0$

$0,16 + 1,12 + m = 0$

$1,28 + m = 0$

Теперь найдем значение $m$:

$m = -1,28$

Ответ: $m = -1,28$.

Найдите второй корень уравнения

Теперь, когда мы нашли значение $m$, мы можем записать полное квадратное уравнение:

$4x^2 - 5,6x - 1,28 = 0$

Для нахождения второго корня удобно использовать теорему Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней $x_1$ и $x_2$ определяется по формуле:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a = 4$, $b = -5,6$, $c = -1,28$. Один из корней нам известен по условию: $x_1 = -0,2$. Подставим значения коэффициентов в формулу суммы корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{-5,6}{4} = \frac{5,6}{4} = 1,4$

Теперь, зная сумму корней и один из них, найдем второй корень $x_2$:

$-0,2 + x_2 = 1,4$

$x_2 = 1,4 + 0,2$

$x_2 = 1,6$

Для проверки можно использовать формулу произведения корней по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

$\frac{-1,28}{4} = -0,32$

$-0,2 \cdot 1,6 = -0,32$

Результаты совпадают, следовательно, второй корень найден верно.

Ответ: второй корень уравнения равен $1,6$.

719. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2 - 7x - 13 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения $x_1 x_2 - 4x_1 - 4x_2$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x_1$ и $x_2$ являются его корнями, справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Дано уравнение $2x^2 - 7x - 13 = 0$. В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -7$, $c = -13$.

Найдем сумму и произведение корней этого уравнения, используя теорему Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-7}{2} = \frac{7}{2}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-13}{2}$

Теперь рассмотрим выражение, значение которого нужно найти: $x_1x_2 - 4x_1 - 4x_2$.

Мы можем преобразовать это выражение, вынеся общий множитель $-4$ за скобки:

$x_1x_2 - 4x_1 - 4x_2 = x_1x_2 - 4(x_1 + x_2)$

Теперь подставим в полученное выражение найденные значения произведения ($x_1x_2$) и суммы ($x_1+x_2$) корней:

$\frac{-13}{2} - 4 \cdot \left(\frac{7}{2}\right)$

Выполним вычисления:

$\frac{-13}{2} - \frac{4 \cdot 7}{2} = \frac{-13}{2} - \frac{28}{2} = \frac{-13 - 28}{2} = \frac{-41}{2} = -20,5$

Ответ: -20,5

720. Известно, что $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $5x^2 + 4x - 13 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения $3x_1x_2 - x_1 - x_2$.

Для нахождения значения выражения $3x_1x_2 - x_1 - x_2$ без решения уравнения $5x^2 + 4x - 13 = 0$ воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, сумма и произведение его корней ($x_1$ и $x_2$) связаны с коэффициентами следующим образом:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $5x^2 + 4x - 13 = 0$ коэффициенты имеют следующие значения:
$a = 5$
$b = 4$
$c = -13$

Теперь мы можем найти сумму и произведение корней нашего уравнения:
$x_1 + x_2 = -\frac{4}{5}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-13}{5} = -\frac{13}{5}$

Далее преобразуем искомое выражение $3x_1x_2 - x_1 - x_2$, чтобы в нем использовались только сумма и произведение корней. Для этого сгруппируем последние два слагаемых и вынесем знак минус за скобки:
$3x_1x_2 - x_1 - x_2 = 3(x_1x_2) - (x_1 + x_2)$

Подставим найденные значения суммы и произведения корней в преобразованное выражение:
$3 \cdot \left(-\frac{13}{5}\right) - \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{39}{5} + \frac{4}{5} = \frac{-39+4}{5} = \frac{-35}{5} = -7$

Ответ: -7.

721. При каком значении $b$ корни уравнения $x^2 + bx - 17 = 0$ являются противоположными числами? Найдите эти корни.

Дано квадратное уравнение $x^2 + bx - 17 = 0$. Чтобы найти значение $b$, при котором корни уравнения являются противоположными числами, воспользуемся теоремой Виета.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. Если они являются противоположными числами, то их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -b$.

При каком значении b корни уравнения являются противоположными числами?

Приравнивая два выражения для суммы корней, получаем:
$-b = 0$
Следовательно, $b = 0$.
Проверим, существуют ли при этом значении $b$ действительные корни. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения $a=1, c=-17$.
$D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 68$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Ответ: $b=0$.

Найдите эти корни.

Подставим найденное значение $b=0$ в исходное уравнение:
$x^2 + 0 \cdot x - 17 = 0$
$x^2 - 17 = 0$
Решим это неполное квадратное уравнение:
$x^2 = 17$
$x = \pm\sqrt{17}$
Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{17}$ и $x_2 = -\sqrt{17}$.
Ответ: $\sqrt{17}$ и $-\sqrt{17}$.

722. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение:

1) $x^2 - 5x + 4 = 0;$

2) $x^2 + 5x + 4 = 0;$

3) $x^2 - 4x - 5 = 0;$

4) $x^2 + 4x - 5 = 0;$

5) $x^2 - 9x + 20 = 0;$

6) $x^2 - x - 2 = 0;$

7) $x^2 + 2x - 8 = 0;$

8) $x^2 - 3x - 18 = 0.$

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма равна $-p$, а произведение равно $q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

1) $x^2 - 5x + 4 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициент $p = -5$, а свободный член $q = 4$. Согласно теореме, обратной теореме Виета, ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:
$x_1 + x_2 = -p = -(-5) = 5$
$x_1 \cdot x_2 = q = 4$
Подбираем такие числа. Это числа 1 и 4, так как $1 + 4 = 5$ и $1 \cdot 4 = 4$.
Ответ: 1; 4.

2) $x^2 + 5x + 4 = 0$
В этом уравнении $p = 5$, $q = 4$. Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:
$x_1 + x_2 = -p = -5$
$x_1 \cdot x_2 = q = 4$
Произведение положительное, а сумма отрицательная, значит, оба корня отрицательны. Это числа -1 и -4, так как $(-1) + (-4) = -5$ и $(-1) \cdot (-4) = 4$.
Ответ: -4; -1.

3) $x^2 - 4x - 5 = 0$
Здесь $p = -4$, $q = -5$. Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:
$x_1 + x_2 = -p = -(-4) = 4$
$x_1 \cdot x_2 = q = -5$
Произведение отрицательное, значит, корни имеют разные знаки. Подбираем такие числа. Это 5 и -1, так как $5 + (-1) = 4$ и $5 \cdot (-1) = -5$.
Ответ: -1; 5.

4) $x^2 + 4x - 5 = 0$
В данном уравнении $p = 4$, $q = -5$. Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:
$x_1 + x_2 = -p = -4$
$x_1 \cdot x_2 = q = -5$
Корни имеют разные знаки. Это числа -5 и 1, так как $-5 + 1 = -4$ и $-5 \cdot 1 = -5$.
Ответ: -5; 1.

5) $x^2 - 9x + 20 = 0$
Здесь $p = -9$, $q = 20$. Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:
$x_1 + x_2 = -p = -(-9) = 9$
$x_1 \cdot x_2 = q = 20$
Произведение и сумма положительные, значит, оба корня положительны. Это числа 4 и 5, так как $4 + 5 = 9$ и $4 \cdot 5 = 20$.
Ответ: 4; 5.

6) $x^2 - x - 2 = 0$
В этом уравнении $p = -1$, $q = -2$. Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:
$x_1 + x_2 = -p = -(-1) = 1$
$x_1 \cdot x_2 = q = -2$
Корни имеют разные знаки. Это числа 2 и -1, так как $2 + (-1) = 1$ и $2 \cdot (-1) = -2$.
Ответ: -1; 2.

7) $x^2 + 2x - 8 = 0$
Здесь $p = 2$, $q = -8$. Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:
$x_1 + x_2 = -p = -2$
$x_1 \cdot x_2 = q = -8$
Корни имеют разные знаки. Это числа -4 и 2, так как $-4 + 2 = -2$ и $-4 \cdot 2 = -8$.
Ответ: -4; 2.

8) $x^2 - 3x - 18 = 0$
В данном уравнении $p = -3$, $q = -18$. Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:
$x_1 + x_2 = -p = -(-3) = 3$
$x_1 \cdot x_2 = q = -18$
Корни имеют разные знаки. Это числа 6 и -3, так как $6 + (-3) = 3$ и $6 \cdot (-3) = -18$.
Ответ: -3; 6.