Номер 716, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 716, страница 177.

Условие.

716. Число 7 является корнем уравнения $x^2 + px - 42 = 0$. Найдите значение p и второй корень уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Нахождение значения p

По условию, число 7 является корнем уравнения $x^2 + px - 42 = 0$. Это означает, что если подставить значение $x = 7$ в уравнение, мы получим верное равенство.

Выполним подстановку:

$7^2 + p \cdot 7 - 42 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно $p$:

$49 + 7p - 42 = 0$

$7p + 7 = 0$

$7p = -7$

$p = \frac{-7}{7}$

$p = -1$

Ответ: $p = -1$.

Нахождение второго корня уравнения

Теперь, когда мы определили, что $p = -1$, мы можем записать уравнение в полном виде:

$x^2 - x - 42 = 0$

Для нахождения второго корня удобно использовать теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + Bx + C = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• $x_1 + x_2 = -B$
• $x_1 \cdot x_2 = C$

В нашем случае $B = -1$ и $C = -42$. Один из корней нам известен: $x_1 = 7$.

Воспользуемся соотношением для произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = -42$

$7 \cdot x_2 = -42$

Отсюда находим второй корень $x_2$:

$x_2 = \frac{-42}{7} = -6$

Для проверки убедимся, что сумма корней также соответствует теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7 + (-6) = 1$. Это соответствует $-B = -(-1) = 1$. Второй корень найден верно.

Ответ: Второй корень уравнения равен -6.