Номер 723, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 723, страница 178.

Условие.

723. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение:

1) $x^2 - 10x + 24 = 0;$

2) $x^2 + 6x + 8 = 0;$

3) $x^2 - 2x - 8 = 0;$

4) $x^2 + x - 12 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Теорема, обратная теореме Виета, утверждает, что если для чисел $x_1$ и $x_2$ выполняются равенства $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

1) $x^2 - 10x + 24 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где $p = -10$ и $q = 24$.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, мы ищем два числа, $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:

$x_1 + x_2 = -p = -(-10) = 10$

$x_1 \cdot x_2 = q = 24$

Нам нужно найти два числа, произведение которых равно 24, а сумма равна 10. Так как и произведение, и сумма положительны, оба корня должны быть положительными. Подберем пары целых множителей числа 24:

• $1 \cdot 24 = 24$, но $1 + 24 = 25 \ne 10$.
• $2 \cdot 12 = 24$, но $2 + 12 = 14 \ne 10$.
• $3 \cdot 8 = 24$, но $3 + 8 = 11 \ne 10$.
• $4 \cdot 6 = 24$ и $4 + 6 = 10$. Эта пара подходит.

Следовательно, корнями уравнения являются числа 4 и 6.

Ответ: 4; 6.

2) $x^2 + 6x + 8 = 0$

В данном уравнении коэффициенты $p = 6$ и $q = 8$.

Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:

$x_1 + x_2 = -p = -6$

$x_1 \cdot x_2 = q = 8$

Произведение корней положительно ($+8$), а сумма отрицательна ($-6$). Это означает, что оба корня отрицательны. Будем подбирать пары отрицательных множителей числа 8:

• $(-1) \cdot (-8) = 8$, но $(-1) + (-8) = -9 \ne -6$.
• $(-2) \cdot (-4) = 8$ и $(-2) + (-4) = -6$. Эта пара подходит.

Таким образом, корни уравнения - это -2 и -4.

Ответ: -4; -2.

3) $x^2 - 2x - 8 = 0$

Здесь коэффициенты $p = -2$ и $q = -8$.

Найдем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:

$x_1 + x_2 = -p = -(-2) = 2$

$x_1 \cdot x_2 = q = -8$

Произведение корней отрицательно ($-8$), значит, корни имеют разные знаки. Сумма корней положительна ($+2$), значит, положительный корень по модулю больше отрицательного. Подберем множители числа -8:

• $(-1) \cdot 8 = -8$, но $(-1) + 8 = 7 \ne 2$.
• $(-2) \cdot 4 = -8$ и $(-2) + 4 = 2$. Эта пара подходит.

Следовательно, корнями уравнения являются числа -2 и 4.

Ответ: -2; 4.

4) $x^2 + x - 12 = 0$

В этом уравнении коэффициенты $p = 1$ и $q = -12$.

Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:

$x_1 + x_2 = -p = -1$

$x_1 \cdot x_2 = q = -12$

Произведение корней отрицательно ($-12$), значит, у них разные знаки. Сумма корней отрицательна ($-1$), значит, отрицательный корень по модулю больше положительного. Подберем множители числа -12:

• $1 \cdot (-12) = -12$, но $1 + (-12) = -11 \ne -1$.
• $2 \cdot (-6) = -12$, но $2 + (-6) = -4 \ne -1$.
• $3 \cdot (-4) = -12$ и $3 + (-4) = -1$. Эта пара подходит.

Таким образом, корнями уравнения являются числа 3 и -4.

Ответ: -4; 3.