Номер 720, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 720, страница 177.

Условие.

720. Известно, что $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $5x^2 + 4x - 13 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения $3x_1x_2 - x_1 - x_2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения значения выражения $3x_1x_2 - x_1 - x_2$ без решения уравнения $5x^2 + 4x - 13 = 0$ воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, сумма и произведение его корней ($x_1$ и $x_2$) связаны с коэффициентами следующим образом:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $5x^2 + 4x - 13 = 0$ коэффициенты имеют следующие значения:
$a = 5$
$b = 4$
$c = -13$

Теперь мы можем найти сумму и произведение корней нашего уравнения:
$x_1 + x_2 = -\frac{4}{5}$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-13}{5} = -\frac{13}{5}$

Далее преобразуем искомое выражение $3x_1x_2 - x_1 - x_2$, чтобы в нем использовались только сумма и произведение корней. Для этого сгруппируем последние два слагаемых и вынесем знак минус за скобки:
$3x_1x_2 - x_1 - x_2 = 3(x_1x_2) - (x_1 + x_2)$

Подставим найденные значения суммы и произведения корней в преобразованное выражение:
$3 \cdot \left(-\frac{13}{5}\right) - \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{39}{5} + \frac{4}{5} = \frac{-39+4}{5} = \frac{-35}{5} = -7$

Ответ: -7.