Номер 722, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 722, страница 177.

Условие.

722. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение:

1) $x^2 - 5x + 4 = 0;$

2) $x^2 + 5x + 4 = 0;$

3) $x^2 - 4x - 5 = 0;$

4) $x^2 + 4x - 5 = 0;$

5) $x^2 - 9x + 20 = 0;$

6) $x^2 - x - 2 = 0;$

7) $x^2 + 2x - 8 = 0;$

8) $x^2 - 3x - 18 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма равна $-p$, а произведение равно $q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

1) $x^2 - 5x + 4 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициент $p = -5$, а свободный член $q = 4$. Согласно теореме, обратной теореме Виета, ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:
$x_1 + x_2 = -p = -(-5) = 5$
$x_1 \cdot x_2 = q = 4$
Подбираем такие числа. Это числа 1 и 4, так как $1 + 4 = 5$ и $1 \cdot 4 = 4$.
Ответ: 1; 4.

2) $x^2 + 5x + 4 = 0$
В этом уравнении $p = 5$, $q = 4$. Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:
$x_1 + x_2 = -p = -5$
$x_1 \cdot x_2 = q = 4$
Произведение положительное, а сумма отрицательная, значит, оба корня отрицательны. Это числа -1 и -4, так как $(-1) + (-4) = -5$ и $(-1) \cdot (-4) = 4$.
Ответ: -4; -1.

3) $x^2 - 4x - 5 = 0$
Здесь $p = -4$, $q = -5$. Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:
$x_1 + x_2 = -p = -(-4) = 4$
$x_1 \cdot x_2 = q = -5$
Произведение отрицательное, значит, корни имеют разные знаки. Подбираем такие числа. Это 5 и -1, так как $5 + (-1) = 4$ и $5 \cdot (-1) = -5$.
Ответ: -1; 5.

4) $x^2 + 4x - 5 = 0$
В данном уравнении $p = 4$, $q = -5$. Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:
$x_1 + x_2 = -p = -4$
$x_1 \cdot x_2 = q = -5$
Корни имеют разные знаки. Это числа -5 и 1, так как $-5 + 1 = -4$ и $-5 \cdot 1 = -5$.
Ответ: -5; 1.

5) $x^2 - 9x + 20 = 0$
Здесь $p = -9$, $q = 20$. Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:
$x_1 + x_2 = -p = -(-9) = 9$
$x_1 \cdot x_2 = q = 20$
Произведение и сумма положительные, значит, оба корня положительны. Это числа 4 и 5, так как $4 + 5 = 9$ и $4 \cdot 5 = 20$.
Ответ: 4; 5.

6) $x^2 - x - 2 = 0$
В этом уравнении $p = -1$, $q = -2$. Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:
$x_1 + x_2 = -p = -(-1) = 1$
$x_1 \cdot x_2 = q = -2$
Корни имеют разные знаки. Это числа 2 и -1, так как $2 + (-1) = 1$ и $2 \cdot (-1) = -2$.
Ответ: -1; 2.

7) $x^2 + 2x - 8 = 0$
Здесь $p = 2$, $q = -8$. Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:
$x_1 + x_2 = -p = -2$
$x_1 \cdot x_2 = q = -8$
Корни имеют разные знаки. Это числа -4 и 2, так как $-4 + 2 = -2$ и $-4 \cdot 2 = -8$.
Ответ: -4; 2.

8) $x^2 - 3x - 18 = 0$
В данном уравнении $p = -3$, $q = -18$. Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:
$x_1 + x_2 = -p = -(-3) = 3$
$x_1 \cdot x_2 = q = -18$
Корни имеют разные знаки. Это числа 6 и -3, так как $6 + (-3) = 3$ и $6 \cdot (-3) = -18$.
Ответ: -3; 6.