Номер 726, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 726, страница 178.

Условие.

726. Корни уравнения $x^2 + 20x + a = 0$ относятся как 7 : 3. Найдите значение $a$ и корни уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Дано квадратное уравнение $x^2 + 20x + a = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$):

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае коэффициенты равны $p=20$ и $q=a$. Таким образом, для нашего уравнения справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -20$

$x_1 \cdot x_2 = a$

По условию задачи, корни относятся как $7:3$. Это значит, что мы можем выразить их через некоторую переменную $k$:

$x_1 = 7k$

$x_2 = 3k$

Теперь подставим эти выражения в уравнение для суммы корней:

$7k + 3k = -20$

$10k = -20$

Отсюда находим значение $k$:

$k = \frac{-20}{10} = -2$

Зная $k$, можем найти сами корни уравнения:

$x_1 = 7k = 7 \cdot (-2) = -14$

$x_2 = 3k = 3 \cdot (-2) = -6$

Далее, чтобы найти значение $a$, подставим найденные корни в уравнение для произведения корней:

$a = x_1 \cdot x_2 = (-14) \cdot (-6)$

$a = 84$

Итак, мы нашли значение параметра $a$ и оба корня уравнения.

Ответ: $a=84$, корни уравнения: $-14$ и $-6$.