Номер 731, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 731, страница 178.

Условие.

731. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 9x + 6 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $(x_1 - x_2)^2$;

4) $x_1^3 + x_2^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 9x + 6 = 0$ коэффициенты равны $p = -9$ и $q = 6$. Следовательно:

$x_1 + x_2 = -(-9) = 9$

$x_1 x_2 = 6$

Теперь, используя эти значения, найдем значения требуемых выражений.

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1x_2} + \frac{x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $1.5$

2) $x_1^2 + x_2^2$

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$

Отсюда:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения:

$x_1^2 + x_2^2 = (9)^2 - 2 \cdot 6 = 81 - 12 = 69$

Ответ: $69$

3) $(x_1 - x_2)^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата разности:

$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) - 2x_1x_2$

Мы уже нашли значение $x_1^2 + x_2^2$ в предыдущем пункте. Оно равно 69.

$(x_1 - x_2)^2 = 69 - 2 \cdot 6 = 69 - 12 = 57$

Альтернативный способ:

Можно использовать тождество $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

$(x_1 - x_2)^2 = 9^2 - 4 \cdot 6 = 81 - 24 = 57$

Ответ: $57$

4) $x_1^3 + x_2^3$

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1^2 + x_2^2) - x_1x_2)$

Подставим значения, найденные ранее ($x_1+x_2=9$, $x_1^2+x_2^2=69$, $x_1x_2=6$):

$x_1^3 + x_2^3 = 9 \cdot (69 - 6) = 9 \cdot 63 = 567$

Альтернативный способ:

Можно использовать тождество $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$.

$x_1^3 + x_2^3 = 9^3 - 3 \cdot 6 \cdot 9 = 729 - 162 = 567$

Ответ: $567$