Номер 729, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 729, страница 178.

Условие.

729. Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни уравнения:

1) $2x^2 - 5x + 3 = 0;$

2) $2x^2 + 5x + 3 = 0;$

3) $16x^2 - 23x + 7 = 0;$

4) $-8x^2 - 19x + 27 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Теорема, обратная теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ утверждает, что если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то они являются корнями этого уравнения. Для общего случая $ax^2 + bx + c = 0$ эти соотношения принимают вид: $x_1 + x_2 = -b/a$ и $x_1 \cdot x_2 = c/a$. Будем использовать эти формулы для подбора корней.

1) $2x^2 - 5x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=-5$, $c=3$.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ должны выполняться равенства:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$

Нам необходимо найти два числа, сумма которых равна $\frac{5}{2}$, а произведение — $\frac{3}{2}$. Поскольку и сумма, и произведение положительны, оба корня должны быть положительными. Попробуем найти корни методом подбора. Рассмотрим множители числа $\frac{3}{2}$. Это могут быть, например, числа $1$ и $\frac{3}{2}$.

Проверим их сумму: $1 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.

Оба условия выполняются, следовательно, эти числа и являются корнями уравнения.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{3}{2}$.

2) $2x^2 + 5x + 3 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=2$, $b=5$, $c=3$.

Условия для корней $x_1$ и $x_2$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{5}{2}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$

Произведение корней положительно ($\frac{3}{2}$), а их сумма отрицательна ($-\frac{5}{2}$). Это означает, что оба корня отрицательны. Будем искать их среди отрицательных множителей числа $\frac{3}{2}$. Возьмем числа $-1$ и $-\frac{3}{2}$.

Проверим их произведение: $(-1) \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}$.

Проверим их сумму: $-1 + (-\frac{3}{2}) = -\frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}$.

Оба условия выполняются, значит, мы нашли корни.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{3}{2}$.

3) $16x^2 - 23x + 7 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=16$, $b=-23$, $c=7$.

Условия для корней $x_1$ и $x_2$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-23}{16} = \frac{23}{16}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{7}{16}$

Сумма и произведение корней положительны, значит, оба корня положительны. Искать корни в виде целых чисел нецелесообразно, так как их произведение — дробь. Один из самых простых способов подобрать такие корни — предположить, что один из корней равен 1.

Пусть $x_1 = 1$. Тогда из второго условия найдем $x_2$:

$1 \cdot x_2 = \frac{7}{16} \Rightarrow x_2 = \frac{7}{16}$

Теперь проверим, выполняется ли первое условие для суммы найденных чисел:

$x_1 + x_2 = 1 + \frac{7}{16} = \frac{16}{16} + \frac{7}{16} = \frac{23}{16}$.

Условие для суммы выполняется. Таким образом, корни найдены верно.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{7}{16}$.

4) $-8x^2 - 19x + 27 = 0$

Для удобства расчетов умножим все члены уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. Корни уравнения от этого не изменятся.

$8x^2 + 19x - 27 = 0$

Коэффициенты полученного уравнения: $a=8$, $b=19$, $c=-27$.

Условия для корней $x_1$ и $x_2$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{19}{8}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{27}{8}$

Произведение корней отрицательно, значит, корни имеют разные знаки. Попробуем снова предположить, что один из корней равен 1.

Пусть $x_1 = 1$. Найдем $x_2$ из условия для произведения:

$1 \cdot x_2 = -\frac{27}{8} \Rightarrow x_2 = -\frac{27}{8}$

Проверим условие для суммы:

$x_1 + x_2 = 1 + (-\frac{27}{8}) = \frac{8}{8} - \frac{27}{8} = -\frac{19}{8}$.

Условие для суммы выполняется, следовательно, корни найдены правильно.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{27}{8}$.