Номер 734, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 734, страница 178.

Условие.

734. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 3 больше соответствующих корней уравнения $x^2 - 12x + 4 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть дано уравнение $x^2 - 12x + 4 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$. Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, сумма и произведение корней определяются следующим образом:
$x_1 + x_2 = -(-12) = 12$
$x_1 \cdot x_2 = 4$

По условию, корни искомого квадратного уравнения, назовем их $y_1$ и $y_2$, на 3 больше соответствующих корней исходного уравнения. Таким образом, мы имеем:
$y_1 = x_1 + 3$
$y_2 = x_2 + 3$

Чтобы составить новое уравнение, найдем сумму и произведение его корней $y_1$ и $y_2$.
Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = (x_1 + 3) + (x_2 + 3) = (x_1 + x_2) + 6$. Подставив известное значение $x_1 + x_2 = 12$, получаем $12 + 6 = 18$.
Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9$. Подставив известные значения $x_1x_2 = 4$ и $x_1 + x_2 = 12$, получаем $4 + 3 \cdot 12 + 9 = 4 + 36 + 9 = 49$.

Используя обратную теорему Виета, мы можем составить приведенное квадратное уравнение вида $y^2 - (y_1+y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$. Подставляя найденные значения суммы (18) и произведения (49) и используя стандартную переменную $x$, получаем искомое уравнение.

Ответ: $x^2 - 18x + 49 = 0$.