Номер 739, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 739, страница 179.
№739 (с. 179)
Условие. №739 (с. 179)
скриншот условия

739. Верно ли утверждение:
1) уравнение $7x^2 + 4x - a^2 - 1 = 0$ имеет корни разных знаков при любом значении $a$;
2) если уравнение $x^2 + 6x + a^2 + 4 = 0$ имеет корни, то независимо от значения $a$ они оба отрицательны?
Решение 1. №739 (с. 179)


Решение 2. №739 (с. 179)

Решение 3. №739 (с. 179)

Решение 4. №739 (с. 179)

Решение 5. №739 (с. 179)

Решение 6. №739 (с. 179)

Решение 7. №739 (с. 179)

Решение 8. №739 (с. 179)
1) уравнение $7x^2 + 4x - a^2 - 1 = 0$ имеет корни разных знаков при любом значении $a$
Для того чтобы квадратное уравнение имело два корня разных знаков, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия согласно теореме Виета:
- Уравнение должно иметь действительные корни, то есть его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
- Произведение корней $x_1 \cdot x_2$ должно быть отрицательным.
Рассмотрим данное уравнение: $7x^2 + 4x - (a^2 + 1) = 0$.
Это квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, где коэффициенты равны:
- $A = 7$
- $B = 4$
- $C = -a^2 - 1 = -(a^2 + 1)$
Проверим условие для произведения корней. По теореме Виета, произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-(a^2 + 1)}{7}$
Проанализируем знак этого выражения. Так как $a^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$, то $a^2 + 1 \ge 1$, то есть $a^2+1$ всегда положительно. Следовательно, выражение $\frac{-(a^2 + 1)}{7}$ всегда отрицательно при любом значении $a$.
Таким образом, $x_1 \cdot x_2 < 0$ для всех $a \in \mathbb{R}$.
Теперь проверим, существуют ли действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-(a^2 + 1)) = 16 - 28(-a^2 - 1) = 16 + 28a^2 + 28 = 28a^2 + 44$.
Так как $a^2 \ge 0$, то $28a^2 \ge 0$, и $D = 28a^2 + 44 \ge 44$. Поскольку дискриминант всегда строго больше нуля ($D > 0$) при любом значении $a$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.
Так как при любом значении $a$ уравнение имеет два действительных корня и их произведение отрицательно, то корни всегда имеют разные знаки.
Следовательно, утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.
2) если уравнение $x^2 + 6x + a^2 + 4 = 0$ имеет корни, то независимо от значения $a$ они оба отрицательны?
Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три условия:
- Уравнение должно иметь действительные корни ($D \ge 0$).
- Произведение корней должно быть положительным ($x_1 \cdot x_2 > 0$).
- Сумма корней должна быть отрицательной ($x_1 + x_2 < 0$).
Рассмотрим данное уравнение: $x^2 + 6x + (a^2 + 4) = 0$.
Коэффициенты этого уравнения: $A = 1$, $B = 6$, $C = a^2 + 4$.
В условии задачи сказано "если уравнение имеет корни", это означает, что мы рассматриваем только те значения $a$, при которых $D \ge 0$.
Найдем дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 4) = 36 - 4a^2 - 16 = 20 - 4a^2$.
Условие $D \ge 0$ означает $20 - 4a^2 \ge 0$, что эквивалентно $4a^2 \le 20$, или $a^2 \le 5$. Таким образом, корни существуют только при $-\sqrt{5} \le a \le \sqrt{5}$.
Теперь применим теорему Виета для тех значений $a$, при которых корни существуют.
Проверим знак суммы корней:
$x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} = -\frac{6}{1} = -6$.
Сумма корней равна -6, что является отрицательным числом, независимо от значения $a$.
Проверим знак произведения корней:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} = \frac{a^2 + 4}{1} = a^2 + 4$.
Так как $a^2 \ge 0$ для любого $a$, то $a^2 + 4 \ge 4$. Произведение корней всегда положительно.
Итак, если уравнение имеет корни, то их сумма отрицательна ($-6 < 0$), а их произведение положительно ($a^2+4 > 0$). Если произведение двух чисел положительно, они имеют одинаковый знак. Если их сумма при этом отрицательна, то оба числа должны быть отрицательными.
Следовательно, для всех значений $a$, при которых уравнение имеет корни, оба корня являются отрицательными.
Ответ: утверждение верно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 739 расположенного на странице 179 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №739 (с. 179), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.