Номер 739, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 739, страница 179.

Условие.

739. Верно ли утверждение:

1) уравнение $7x^2 + 4x - a^2 - 1 = 0$ имеет корни разных знаков при любом значении $a$;

2) если уравнение $x^2 + 6x + a^2 + 4 = 0$ имеет корни, то независимо от значения $a$ они оба отрицательны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) уравнение $7x^2 + 4x - a^2 - 1 = 0$ имеет корни разных знаков при любом значении $a$

Для того чтобы квадратное уравнение имело два корня разных знаков, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия согласно теореме Виета:

1. Уравнение должно иметь действительные корни, то есть его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
2. Произведение корней $x_1 \cdot x_2$ должно быть отрицательным.

Рассмотрим данное уравнение: $7x^2 + 4x - (a^2 + 1) = 0$.

Это квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, где коэффициенты равны:

• $A = 7$
• $B = 4$
• $C = -a^2 - 1 = -(a^2 + 1)$

Проверим условие для произведения корней. По теореме Виета, произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-(a^2 + 1)}{7}$

Проанализируем знак этого выражения. Так как $a^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$, то $a^2 + 1 \ge 1$, то есть $a^2+1$ всегда положительно. Следовательно, выражение $\frac{-(a^2 + 1)}{7}$ всегда отрицательно при любом значении $a$.

Таким образом, $x_1 \cdot x_2 < 0$ для всех $a \in \mathbb{R}$.

Теперь проверим, существуют ли действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-(a^2 + 1)) = 16 - 28(-a^2 - 1) = 16 + 28a^2 + 28 = 28a^2 + 44$.

Так как $a^2 \ge 0$, то $28a^2 \ge 0$, и $D = 28a^2 + 44 \ge 44$. Поскольку дискриминант всегда строго больше нуля ($D > 0$) при любом значении $a$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Так как при любом значении $a$ уравнение имеет два действительных корня и их произведение отрицательно, то корни всегда имеют разные знаки.

Следовательно, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

2) если уравнение $x^2 + 6x + a^2 + 4 = 0$ имеет корни, то независимо от значения $a$ они оба отрицательны?

Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три условия:

1. Уравнение должно иметь действительные корни ($D \ge 0$).
2. Произведение корней должно быть положительным ($x_1 \cdot x_2 > 0$).
3. Сумма корней должна быть отрицательной ($x_1 + x_2 < 0$).

Рассмотрим данное уравнение: $x^2 + 6x + (a^2 + 4) = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $A = 1$, $B = 6$, $C = a^2 + 4$.

В условии задачи сказано "если уравнение имеет корни", это означает, что мы рассматриваем только те значения $a$, при которых $D \ge 0$.

Найдем дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 4) = 36 - 4a^2 - 16 = 20 - 4a^2$.

Условие $D \ge 0$ означает $20 - 4a^2 \ge 0$, что эквивалентно $4a^2 \le 20$, или $a^2 \le 5$. Таким образом, корни существуют только при $-\sqrt{5} \le a \le \sqrt{5}$.

Теперь применим теорему Виета для тех значений $a$, при которых корни существуют.

Проверим знак суммы корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} = -\frac{6}{1} = -6$.

Сумма корней равна -6, что является отрицательным числом, независимо от значения $a$.

Проверим знак произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} = \frac{a^2 + 4}{1} = a^2 + 4$.

Так как $a^2 \ge 0$ для любого $a$, то $a^2 + 4 \ge 4$. Произведение корней всегда положительно.

Итак, если уравнение имеет корни, то их сумма отрицательна ($-6 < 0$), а их произведение положительно ($a^2+4 > 0$). Если произведение двух чисел положительно, они имеют одинаковый знак. Если их сумма при этом отрицательна, то оба числа должны быть отрицательными.

Следовательно, для всех значений $a$, при которых уравнение имеет корни, оба корня являются отрицательными.

Ответ: утверждение верно.