Номер 745, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 745, страница 179.

Условие.

745. Сократите дробь:

1) $\frac{4a - 16}{a^2 - 16}$;

2) $\frac{12b^3 - 8b^2}{2 - 3b}$;

3) $\frac{c^2 + 10c + 25}{5c + 25}$;

4) $\frac{4 - m^2}{m^2 - 4m + 4}$;

5) $\frac{n^3 - n^5}{n^3 - n}$;

6) $\frac{2 - 2x^2}{4x^2 - 8x + 4}$;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{4a - 16}{a^2 - 16}$, разложим её числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель 4 за скобки: $4a - 16 = 4(a - 4)$.

Знаменатель является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $a^2 - 16 = a^2 - 4^2 = (a - 4)(a + 4)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(a-4)$, при условии что $a \neq 4$:
$\frac{4(a - 4)}{(a - 4)(a + 4)} = \frac{4}{a + 4}$.

Ответ: $\frac{4}{a + 4}$

2) Сократим дробь $\frac{12b^3 - 8b^2}{2 - 3b}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $4b^2$: $12b^3 - 8b^2 = 4b^2(3b - 2)$.

В знаменателе вынесем за скобки -1, чтобы получить выражение, совпадающее с множителем в числителе: $2 - 3b = -(3b - 2)$.

Подставим и сократим общий множитель $(3b-2)$, при условии что $b \neq \frac{2}{3}$:
$\frac{4b^2(3b - 2)}{-(3b - 2)} = \frac{4b^2}{-1} = -4b^2$.

Ответ: $-4b^2$

3) Сократим дробь $\frac{c^2 + 10c + 25}{5c + 25}$.

Числитель представляет собой полный квадрат суммы, который раскладывается по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$: $c^2 + 10c + 25 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 5 + 5^2 = (c + 5)^2$.

В знаменателе вынесем общий множитель 5 за скобки: $5c + 25 = 5(c + 5)$.

Подставим и сократим общий множитель $(c+5)$, при условии что $c \neq -5$:
$\frac{(c + 5)^2}{5(c + 5)} = \frac{(c + 5)(c+5)}{5(c + 5)} = \frac{c + 5}{5}$.

Ответ: $\frac{c + 5}{5}$

4) Сократим дробь $\frac{4 - m^2}{m^2 - 4m + 4}$.

Числитель — это разность квадратов: $4 - m^2 = 2^2 - m^2 = (2 - m)(2 + m)$.

Знаменатель — это полный квадрат разности: $m^2 - 4m + 4 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = (m - 2)^2$.

Подставим полученные выражения в дробь. Заметим, что $2 - m = -(m - 2)$.
$\frac{(2 - m)(2 + m)}{(m - 2)^2} = \frac{-(m - 2)(m + 2)}{(m - 2)(m - 2)}$.
Сократим общий множитель $(m-2)$, при условии что $m \neq 2$:
$\frac{-(m + 2)}{m - 2} = -\frac{m + 2}{m - 2}$.

Ответ: $-\frac{m + 2}{m - 2}$

5) Сократим дробь $\frac{n^3 - n^5}{n^3 - n}$.

Разложим числитель на множители: $n^3 - n^5 = n^3(1 - n^2) = n^3(1 - n)(1 + n)$.

Разложим знаменатель на множители: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$.

Подставим выражения в дробь. Учтём, что $1 - n = -(n - 1)$.
$\frac{n^3(1 - n)(1 + n)}{n(n - 1)(n + 1)} = \frac{n^3(-(n - 1))(n + 1)}{n(n - 1)(n + 1)}$.
Сократим общие множители $n$, $(n-1)$ и $(n+1)$, при условии что $n \neq 0, n \neq 1, n \neq -1$:
$\frac{-n^3}{n} = -n^{3-1} = -n^2$.

Ответ: $-n^2$

6) Сократим дробь $\frac{2 - 2x^2}{4x^2 - 8x + 4}$.

Разложим на множители числитель: $2 - 2x^2 = 2(1 - x^2) = 2(1 - x)(1 + x)$.

Разложим на множители знаменатель: $4x^2 - 8x + 4 = 4(x^2 - 2x + 1) = 4(x - 1)^2$.

Подставим выражения в дробь. Учтём, что $1 - x = -(x - 1)$.
$\frac{2(1 - x)(1 + x)}{4(x - 1)^2} = \frac{2(-(x - 1))(1 + x)}{4(x - 1)^2}$.
Сократим общий множитель $(x-1)$ и числовые коэффициенты, при условии что $x \neq 1$:
$\frac{-2(1 + x)}{4(x - 1)} = \frac{-(1 + x)}{2(x - 1)} = -\frac{1 + x}{2(x - 1)}$.

Ответ: $-\frac{1+x}{2(x-1)}$