Номер 742, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 742, страница 179.

Условие.

742. Корни уравнения $x^2 + bx + c = 0$ равны его коэффициентам $b$ и $c$. Найдите $b$ и $c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + bx + c = 0$.По условию задачи, корнями этого уравнения являются его коэффициенты $b$ и $c$. Обозначим корни как $x_1 = b$ и $x_2 = c$.

Для приведенного квадратного уравнения (коэффициент при $x^2$ равен 1) по теореме Виета справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

Подставим в эти формулы значения корней $x_1 = b$ и $x_2 = c$. Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b$ и $c$:
$b + c = -b$
$b \cdot c = c$

Решим эту систему. Начнем со второго уравнения:
$bc = c$
$bc - c = 0$
$c(b - 1) = 0$
Это уравнение имеет два решения: либо $c = 0$, либо $b - 1 = 0$ (то есть $b = 1$). Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Если c = 0.
Подставим это значение в первое уравнение системы ($b + c = -b$):
$b + 0 = -b$
$b = -b$
$2b = 0$
$b = 0$
Таким образом, первая пара решений: $b=0$ и $c=0$.
Проверка: Уравнение $x^2 + 0x + 0 = 0$ или $x^2 = 0$ имеет корни $x_1=0, x_2=0$. Коэффициенты $b=0, c=0$ равны корням. Решение верное.

2. Если b = 1.
Подставим это значение в первое уравнение системы ($b + c = -b$):
$1 + c = -1$
$c = -1 - 1$
$c = -2$
Таким образом, вторая пара решений: $b=1$ и $c=-2$.
Проверка: Уравнение $x^2 + x - 2 = 0$. Найдем его корни, например, разложив на множители: $(x+2)(x-1)=0$. Корни уравнения: $x_1=-2, x_2=1$. Коэффициенты $b=1, c=-2$ равны корням. Решение верное.

Ответ: $b=0, c=0$ или $b=1, c=-2$.