Номер 743, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 743, страница 179.

Условие.

743. При каком значении $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 4x + a = 0$ равна:

1) 12;

2) 6?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для заданного квадратного уравнения $x^2 - 4x + a = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Согласно теореме Виета, для данного уравнения справедливы следующие соотношения: сумма корней $x_1 + x_2 = -(-4) = 4$, и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = a$.

Нас интересует сумма квадратов корней, то есть $x_1^2 + x_2^2$. Выразим эту сумму через сумму и произведение корней с помощью формулы квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Отсюда следует, что $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим значения, полученные из теоремы Виета:

$x_1^2 + x_2^2 = 4^2 - 2a = 16 - 2a$.

Важным условием является наличие у уравнения действительных корней. Это условие выполняется, если дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$.

Решим неравенство $16 - 4a \ge 0$:

$16 \ge 4a$

$4 \ge a$, или $a \le 4$.

Это означает, что действительные корни существуют только при $a \le 4$. Теперь рассмотрим каждый из двух случаев, заданных в условии.

1) 12

Требуется найти значение $a$, при котором сумма квадратов корней равна 12. Составим уравнение:

$16 - 2a = 12$

Решим это уравнение относительно $a$:

$2a = 16 - 12$

$2a = 4$

$a = 2$

Проверим, выполняется ли для этого значения $a$ условие существования действительных корней $a \le 4$.

Поскольку $2 \le 4$, условие выполнено. Значит, $a=2$ является искомым значением.

Ответ: $a=2$.

2) 6

Требуется найти значение $a$, при котором сумма квадратов корней равна 6. Составим уравнение:

$16 - 2a = 6$

Решим это уравнение относительно $a$:

$2a = 16 - 6$

$2a = 10$

$a = 5$

Проверим, выполняется ли для этого значения $a$ условие существования действительных корней $a \le 4$.

Поскольку $5 > 4$, условие не выполнено. Это означает, что при $a=5$ дискриминант уравнения отрицателен ($D = 16 - 4 \cdot 5 = -4 < 0$), и, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Такого значения $a$ не существует.