Номер 749, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 749, страница 180.

Условие.

749. Пользуясь методом группировки, разложите на множители многочлен:

1) $x^2 - 7x + 10;$

2) $y^2 + 3y - 4;$

3) $a^2 + 8a + 12;$

4) $x^2 - x - 6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^2 - 7x + 10$

Для разложения данного трехчлена на множители методом группировки, необходимо представить средний член $-7x$ в виде суммы двух одночленов. Для этого найдем два числа, сумма которых равна коэффициенту при $x$ (то есть -7), а произведение равно свободному члену (то есть 10).

Такими числами являются -2 и -5, так как $-2 + (-5) = -7$ и $(-2) \cdot (-5) = 10$.

Теперь представим $-7x$ в виде суммы $-2x - 5x$ и выполним группировку:

$x^2 - 7x + 10 = x^2 - 2x - 5x + 10$

Сгруппируем первые два и последние два члена:

$(x^2 - 2x) + (-5x + 10)$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x(x - 2) - 5(x - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x - 5)$

Ответ: $(x - 2)(x - 5)$

2) $y^2 + 3y - 4$

Представим средний член $3y$ в виде суммы двух одночленов. Ищем два числа, сумма которых равна 3, а произведение равно -4.

Этими числами являются 4 и -1, так как $4 + (-1) = 3$ и $4 \cdot (-1) = -4$.

Представим $3y$ как $4y - y$ и выполним группировку:

$y^2 + 3y - 4 = y^2 + 4y - y - 4$

Сгруппируем слагаемые:

$(y^2 + 4y) + (-y - 4)$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$y(y + 4) - 1(y + 4)$

Вынесем общий множитель $(y + 4)$ за скобки:

$(y + 4)(y - 1)$

Ответ: $(y + 4)(y - 1)$

3) $a^2 + 8a + 12$

Представим средний член $8a$ в виде суммы двух одночленов. Ищем два числа, сумма которых равна 8, а произведение равно 12.

Этими числами являются 2 и 6, так как $2 + 6 = 8$ и $2 \cdot 6 = 12$.

Представим $8a$ как $2a + 6a$ и выполним группировку:

$a^2 + 8a + 12 = a^2 + 2a + 6a + 12$

Сгруппируем слагаемые:

$(a^2 + 2a) + (6a + 12)$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$a(a + 2) + 6(a + 2)$

Вынесем общий множитель $(a + 2)$ за скобки:

$(a + 2)(a + 6)$

Ответ: $(a + 2)(a + 6)$

4) $x^2 - x - 6$

Представим средний член $-x$ (то есть $-1x$) в виде суммы двух одночленов. Ищем два числа, сумма которых равна -1, а произведение равно -6.

Этими числами являются 2 и -3, так как $2 + (-3) = -1$ и $2 \cdot (-3) = -6$.

Представим $-x$ как $2x - 3x$ и выполним группировку:

$x^2 - x - 6 = x^2 + 2x - 3x - 6$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + 2x) + (-3x - 6)$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x(x + 2) - 3(x + 2)$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$(x + 2)(x - 3)$

Ответ: $(x + 2)(x - 3)$