Страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

749. Пользуясь методом группировки, разложите на множители многочлен:

1) $x^2 - 7x + 10;$

2) $y^2 + 3y - 4;$

3) $a^2 + 8a + 12;$

4) $x^2 - x - 6.$

1) $x^2 - 7x + 10$

Для разложения данного трехчлена на множители методом группировки, необходимо представить средний член $-7x$ в виде суммы двух одночленов. Для этого найдем два числа, сумма которых равна коэффициенту при $x$ (то есть -7), а произведение равно свободному члену (то есть 10).

Такими числами являются -2 и -5, так как $-2 + (-5) = -7$ и $(-2) \cdot (-5) = 10$.

Теперь представим $-7x$ в виде суммы $-2x - 5x$ и выполним группировку:

$x^2 - 7x + 10 = x^2 - 2x - 5x + 10$

Сгруппируем первые два и последние два члена:

$(x^2 - 2x) + (-5x + 10)$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x(x - 2) - 5(x - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x - 5)$

Ответ: $(x - 2)(x - 5)$

2) $y^2 + 3y - 4$

Представим средний член $3y$ в виде суммы двух одночленов. Ищем два числа, сумма которых равна 3, а произведение равно -4.

Этими числами являются 4 и -1, так как $4 + (-1) = 3$ и $4 \cdot (-1) = -4$.

Представим $3y$ как $4y - y$ и выполним группировку:

$y^2 + 3y - 4 = y^2 + 4y - y - 4$

Сгруппируем слагаемые:

$(y^2 + 4y) + (-y - 4)$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$y(y + 4) - 1(y + 4)$

Вынесем общий множитель $(y + 4)$ за скобки:

$(y + 4)(y - 1)$

Ответ: $(y + 4)(y - 1)$

3) $a^2 + 8a + 12$

Представим средний член $8a$ в виде суммы двух одночленов. Ищем два числа, сумма которых равна 8, а произведение равно 12.

Этими числами являются 2 и 6, так как $2 + 6 = 8$ и $2 \cdot 6 = 12$.

Представим $8a$ как $2a + 6a$ и выполним группировку:

$a^2 + 8a + 12 = a^2 + 2a + 6a + 12$

Сгруппируем слагаемые:

$(a^2 + 2a) + (6a + 12)$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$a(a + 2) + 6(a + 2)$

Вынесем общий множитель $(a + 2)$ за скобки:

$(a + 2)(a + 6)$

Ответ: $(a + 2)(a + 6)$

4) $x^2 - x - 6$

Представим средний член $-x$ (то есть $-1x$) в виде суммы двух одночленов. Ищем два числа, сумма которых равна -1, а произведение равно -6.

Этими числами являются 2 и -3, так как $2 + (-3) = -1$ и $2 \cdot (-3) = -6$.

Представим $-x$ как $2x - 3x$ и выполним группировку:

$x^2 - x - 6 = x^2 + 2x - 3x - 6$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + 2x) + (-3x - 6)$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$x(x + 2) - 3(x + 2)$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$(x + 2)(x - 3)$

Ответ: $(x + 2)(x - 3)$

750. Вася задумал три цифры: $x, y, z$. Петя называет три числа: $a, b, c$. Вася сообщает Пете значение выражения $ax + by + cz$. Какие числа должен назвать Петя, чтобы по полученной информации определить, какие цифры задумал Вася?

Пусть Вася задумал три цифры $x, y, z$, где $x, y, z \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Петя называет три числа $a, b, c$ и получает от Васи значение выражения $S = ax + by + cz$. Пете нужно выбрать числа $a, b, c$ таким образом, чтобы по значению $S$ можно было однозначно восстановить цифры $x, y, z$.

Это означает, что для любых двух различных наборов цифр $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ соответствующие значения суммы $S_1$ и $S_2$ также должны быть различны. То есть, если $(x_1, y_1, z_1) \neq (x_2, y_2, z_2)$, то должно выполняться $ax_1 + by_1 + cz_1 \neq ax_2 + by_2 + cz_2$.

Перенеся все члены в одну сторону, получим $a(x_1 - x_2) + b(y_1 - y_2) + c(z_1 - z_2) \neq 0$. Обозначим разности $\Delta x = x_1 - x_2$, $\Delta y = y_1 - y_2$, $\Delta z = z_1 - z_2$. Поскольку $x, y, z$ — это цифры от 0 до 9, их разности $\Delta x, \Delta y, \Delta z$ могут принимать целые значения от -9 до 9. Условие единственности решения сводится к тому, чтобы уравнение $a\Delta x + b\Delta y + c\Delta z = 0$ имело только одно целочисленное решение в диапазоне $[-9, 9]$ для $\Delta x, \Delta y, \Delta z$ — а именно, тривиальное решение $\Delta x=0, \Delta y=0, \Delta z=0$.

Чтобы гарантировать это, Петя может выбрать числа $a, b, c$ по аналогии с разрядами в позиционной системе счисления. Например, он может выбрать числа, являющиеся степенями 10. Пусть Петя назовет числа $a=1, b=10, c=100$.

Тогда выражение, значение которого $S$ сообщает Вася, будет $S = 1 \cdot x + 10 \cdot y + 100 \cdot z$. Фактически, это число, в котором $z$ — цифра сотен, $y$ — цифра десятков, а $x$ — цифра единиц. Поскольку $x, y, z$ — цифры от 0 до 9, такая запись числа $S$ является единственной.

Докажем это строго.

Пусть Петя выбрал $a=1, b=10, c=100$. Рассмотрим уравнение $1 \cdot \Delta x + 10 \cdot \Delta y + 100 \cdot \Delta z = 0$, где $\Delta x, \Delta y, \Delta z \in \{-9, \ldots, 9\}$.
Перепишем его в виде $100 \cdot \Delta z = -10 \cdot \Delta y - \Delta x$.
Оценим максимальное значение модуля правой части: $|-10 \cdot \Delta y - \Delta x| \le |-10 \cdot \Delta y| + |-\Delta x| = 10|\Delta y| + |\Delta x|$.
Так как максимальное значение для $|\Delta x|$ и $|\Delta y|$ равно 9, получаем: $10 \cdot 9 + 9 = 99$.
Следовательно, $|100 \cdot \Delta z| \le 99$, откуда $|\Delta z| \le \frac{99}{100}$.
Поскольку $\Delta z$ — целое число, единственное возможное значение — это $\Delta z = 0$.

Подставив $\Delta z = 0$ в исходное уравнение, получим $\Delta x + 10 \cdot \Delta y = 0$, или $\Delta x = -10 \cdot \Delta y$.
Возьмем модуль от обеих частей: $|\Delta x| = |-10 \cdot \Delta y| = 10|\Delta y|$.
Мы знаем, что $|\Delta x| \le 9$, поэтому $10|\Delta y| \le 9$, откуда $|\Delta y| \le \frac{9}{10}$.
Так как $\Delta y$ — целое число, единственно возможное значение — это $\Delta y = 0$.

Наконец, подставив $\Delta y = 0$ в уравнение $\Delta x = -10 \cdot \Delta y$, получаем $\Delta x = 0$.

Таким образом, единственным решением является $\Delta x=0, \Delta y=0, \Delta z=0$. Это доказывает, что для каждого значения $S$ существует только один набор цифр $(x, y, z)$, который его порождает.

Пример:
Допустим, Вася задумал цифры $x=3, y=8, z=4$.
Петя называет числа $a=1, b=10, c=100$.
Вася вычисляет $S = 1 \cdot 3 + 10 \cdot 8 + 100 \cdot 4 = 3 + 80 + 400 = 483$.
Получив число 483, Петя может однозначно восстановить цифры:
Цифра сотен $z = \lfloor 483 / 100 \rfloor = 4$.
Остаток после вычитания сотен: $483 - 100 \cdot 4 = 83$.
Цифра десятков $y = \lfloor 83 / 10 \rfloor = 8$.
Остаток после вычитания десятков: $83 - 10 \cdot 8 = 3$.
Цифра единиц $x = 3$.
Петя определил, что Вася задумал цифры 3, 8, и 4.

Ответ:
Петя должен назвать числа, являющиеся последовательными степенями числа, большего 9. Самый простой и естественный выбор — это степени числа 10. Например, Петя может назвать числа $a=1$, $b=10$ и $c=100$. Также подойдет любая их перестановка, например $a=100, b=10, c=1$.