Страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

737. Сумма квадратов корней уравнения $3x^2 + ax - 7 = 0$ равна $\frac{46}{9}$. Найдите значение $a$.

Дано квадратное уравнение $3x^2 + ax - 7 = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни. Согласно условию задачи, сумма квадратов корней равна $\frac{46}{9}$, то есть $x_1^2 + x_2^2 = \frac{46}{9}$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$. Для нашего уравнения $3x^2 + ax - 7 = 0$, которое можно переписать в виде $x^2 + \frac{a}{3}x - \frac{7}{3} = 0$, теорема Виета даёт следующие соотношения для корней:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{a}{3}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -\frac{7}{3}$

Теперь выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Используем известное тождество: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим в это тождество значения, полученные из теоремы Виета, и данное в условии значение суммы квадратов: $\frac{46}{9} = \left(-\frac{a}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{7}{3}\right)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$: $\frac{46}{9} = \frac{a^2}{9} + \frac{14}{3}$

Приведём дроби к общему знаменателю 9: $\frac{46}{9} = \frac{a^2}{9} + \frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 3}$ $\frac{46}{9} = \frac{a^2}{9} + \frac{42}{9}$

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателя: $46 = a^2 + 42$

Выразим $a^2$: $a^2 = 46 - 42$ $a^2 = 4$

Отсюда находим возможные значения $a$: $a = \sqrt{4}$ или $a = -\sqrt{4}$ $a = 2$ или $a = -2$

Ответ: $a = 2$ или $a = -2$.

738. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - ax + 8 = 0$ удовлетворяют условию $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{5}{2}$. Найдите значение $a$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - ax + 8 = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 x_2 = q$.

В нашем случае $p = -a$ и $q = 8$. Следовательно, для корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-a) = a$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 8$

По условию задачи, корни удовлетворяют равенству: $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{5}{2}$

Преобразуем левую часть этого равенства, приведя дроби к общему знаменателю $x_1x_2$: $\frac{x_1 \cdot x_1 + x_2 \cdot x_2}{x_1 x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{5}{2}$

Чтобы выразить числитель $x_1^2 + x_2^2$ через сумму и произведение корней, воспользуемся тождеством $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда получаем: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим это выражение обратно в преобразованное условие: $\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{5}{2}$

Теперь заменим $x_1 + x_2$ на $a$ и $x_1x_2$ на 8: $\frac{a^2 - 2 \cdot 8}{8} = \frac{5}{2}$

$\frac{a^2 - 16}{8} = \frac{5}{2}$

Для решения этого уравнения относительно $a$ умножим обе части на 8: $a^2 - 16 = \frac{5 \cdot 8}{2}$

$a^2 - 16 = 5 \cdot 4$

$a^2 - 16 = 20$

$a^2 = 20 + 16$

$a^2 = 36$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим возможные значения $a$: $a = \pm\sqrt{36}$

$a_1 = 6$, $a_2 = -6$

Убедимся, что при этих значениях $a$ исходное уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). $D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = a^2 - 32$. Для $a = \pm 6$, $a^2 = 36$. $D = 36 - 32 = 4$. Так как $D = 4 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при каждом из найденных значений $a$. Также, поскольку $x_1x_2 = 8 \neq 0$, ни один из корней не равен нулю, и исходное выражение в условии корректно.

Ответ: $a = \pm 6$.

739. Верно ли утверждение:

1) уравнение $7x^2 + 4x - a^2 - 1 = 0$ имеет корни разных знаков при любом значении $a$;

2) если уравнение $x^2 + 6x + a^2 + 4 = 0$ имеет корни, то независимо от значения $a$ они оба отрицательны?

1) уравнение $7x^2 + 4x - a^2 - 1 = 0$ имеет корни разных знаков при любом значении $a$

Для того чтобы квадратное уравнение имело два корня разных знаков, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия согласно теореме Виета:

1. Уравнение должно иметь действительные корни, то есть его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
2. Произведение корней $x_1 \cdot x_2$ должно быть отрицательным.

Рассмотрим данное уравнение: $7x^2 + 4x - (a^2 + 1) = 0$.

Это квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, где коэффициенты равны:

• $A = 7$
• $B = 4$
• $C = -a^2 - 1 = -(a^2 + 1)$

Проверим условие для произведения корней. По теореме Виета, произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-(a^2 + 1)}{7}$

Проанализируем знак этого выражения. Так как $a^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$, то $a^2 + 1 \ge 1$, то есть $a^2+1$ всегда положительно. Следовательно, выражение $\frac{-(a^2 + 1)}{7}$ всегда отрицательно при любом значении $a$.

Таким образом, $x_1 \cdot x_2 < 0$ для всех $a \in \mathbb{R}$.

Теперь проверим, существуют ли действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D = B^2 - 4AC$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-(a^2 + 1)) = 16 - 28(-a^2 - 1) = 16 + 28a^2 + 28 = 28a^2 + 44$.

Так как $a^2 \ge 0$, то $28a^2 \ge 0$, и $D = 28a^2 + 44 \ge 44$. Поскольку дискриминант всегда строго больше нуля ($D > 0$) при любом значении $a$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Так как при любом значении $a$ уравнение имеет два действительных корня и их произведение отрицательно, то корни всегда имеют разные знаки.

Следовательно, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

2) если уравнение $x^2 + 6x + a^2 + 4 = 0$ имеет корни, то независимо от значения $a$ они оба отрицательны?

Для того чтобы оба корня квадратного уравнения были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три условия:

1. Уравнение должно иметь действительные корни ($D \ge 0$).
2. Произведение корней должно быть положительным ($x_1 \cdot x_2 > 0$).
3. Сумма корней должна быть отрицательной ($x_1 + x_2 < 0$).

Рассмотрим данное уравнение: $x^2 + 6x + (a^2 + 4) = 0$.

Коэффициенты этого уравнения: $A = 1$, $B = 6$, $C = a^2 + 4$.

В условии задачи сказано "если уравнение имеет корни", это означает, что мы рассматриваем только те значения $a$, при которых $D \ge 0$.

Найдем дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 4) = 36 - 4a^2 - 16 = 20 - 4a^2$.

Условие $D \ge 0$ означает $20 - 4a^2 \ge 0$, что эквивалентно $4a^2 \le 20$, или $a^2 \le 5$. Таким образом, корни существуют только при $-\sqrt{5} \le a \le \sqrt{5}$.

Теперь применим теорему Виета для тех значений $a$, при которых корни существуют.

Проверим знак суммы корней:

$x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} = -\frac{6}{1} = -6$.

Сумма корней равна -6, что является отрицательным числом, независимо от значения $a$.

Проверим знак произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} = \frac{a^2 + 4}{1} = a^2 + 4$.

Так как $a^2 \ge 0$ для любого $a$, то $a^2 + 4 \ge 4$. Произведение корней всегда положительно.

Итак, если уравнение имеет корни, то их сумма отрицательна ($-6 < 0$), а их произведение положительно ($a^2+4 > 0$). Если произведение двух чисел положительно, они имеют одинаковый знак. Если их сумма при этом отрицательна, то оба числа должны быть отрицательными.

Следовательно, для всех значений $a$, при которых уравнение имеет корни, оба корня являются отрицательными.

Ответ: утверждение верно.

740. Найдите все целые значения $b$, при которых имеет целые корни уравнение:

1) $x^2 + bx + 6 = 0;$

2) $x^2 + bx - 12 = 0.$

Для того чтобы квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имело целые корни, необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты $p$ и $q$ были целыми (что выполняется по условию, так как $b$ — целое), и чтобы его дискриминант $D = p^2 - 4q$ был полным квадратом. Однако более простым методом решения в данном случае является использование теоремы Виета.

Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения:

• $x_1 + x_2 = -b$
• $x_1 \cdot x_2 = c$

По условию, параметр $b$ — целое число, а корни уравнения $x_1$ и $x_2$ также должны быть целыми. Из первого соотношения $b = -(x_1 + x_2)$ следует, что если корни $x_1$ и $x_2$ — целые числа, то их сумма $(x_1 + x_2)$ также будет целым числом, а значит и $b$ будет целым. Таким образом, задача сводится к нахождению всех пар целых чисел $(x_1, x_2)$, произведение которых равно свободному члену уравнения.

Рассмотрим уравнение $x^2 + bx + 6 = 0$.

По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 6$. Так как корни $x_1$ и $x_2$ должны быть целыми, нам нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно 6. Эти пары являются делителями числа 6.

Возможные пары целых корней $(x_1, x_2)$:

• 1 и 6
• -1 и -6
• 2 и 3
• -2 и -3

Для каждой пары корней найдем соответствующее значение $b$ по формуле $b = -(x_1 + x_2)$:

• Если корни 1 и 6, то $b = -(1 + 6) = -7$.
• Если корни -1 и -6, то $b = -(-1 + (-6)) = -(-7) = 7$.
• Если корни 2 и 3, то $b = -(2 + 3) = -5$.
• Если корни -2 и -3, то $b = -(-2 + (-3)) = -(-5) = 5$.

Таким образом, целыми значениями $b$, при которых уравнение имеет целые корни, являются -7, 7, -5, 5.

Ответ: $b \in \{-7, -5, 5, 7\}$.

Рассмотрим уравнение $x^2 + bx - 12 = 0$.

По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -12$. Нам нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно -12.

Возможные пары целых корней $(x_1, x_2)$:

• 1 и -12
• -1 и 12
• 2 и -6
• -2 и 6
• 3 и -4
• -3 и 4

Для каждой пары корней найдем соответствующее значение $b$ по формуле $b = -(x_1 + x_2)$:

• Если корни 1 и -12, то $b = -(1 + (-12)) = -(-11) = 11$.
• Если корни -1 и 12, то $b = -(-1 + 12) = -11$.
• Если корни 2 и -6, то $b = -(2 + (-6)) = -(-4) = 4$.
• Если корни -2 и 6, то $b = -(-2 + 6) = -4$.
• Если корни 3 и -4, то $b = -(3 + (-4)) = -(-1) = 1$.
• Если корни -3 и 4, то $b = -(-3 + 4) = -1$.

Таким образом, целыми значениями $b$, при которых уравнение имеет целые корни, являются 11, -11, 4, -4, 1, -1.

Ответ: $b \in \{-11, -4, -1, 1, 4, 11\}$.

741. Найдите все целые значения b, при которых имеет целые корни уравнение:

1) $x^2 + bx + 8 = 0$;

2) $x^2 + bx - 18 = 0$.

Для того чтобы приведенное квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имело целые корни, необходимо, чтобы его коэффициенты были целыми (по условию $b$ — целое число), и чтобы его корни удовлетворяли теореме Виета.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — целые корни уравнения. По теореме Виета, для уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = c$

Поскольку корни $x_1$ и $x_2$ являются целыми числами, из второго равенства следует, что они должны быть парой целых делителей свободного члена $c$. Так как сумма двух целых чисел всегда является целым числом, то и значение $b = -(x_1 + x_2)$ также будет целым. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти все возможные пары целых делителей свободного члена и для каждой пары вычислить соответствующее значение $b$.

1) $x^2 + bx + 8 = 0$

В данном уравнении свободный член равен 8. Пусть $x_1$ и $x_2$ — целые корни уравнения. Тогда по теореме Виета:

$x_1 \cdot x_2 = 8$

$x_1 + x_2 = -b$

Корни $x_1$ и $x_2$ должны быть целыми делителями числа 8. Выпишем все возможные пары таких делителей и найдем для каждой из них значение $b$:

1. Если $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(1 + 8) = -9$.
2. Если $x_1 = -1$ и $x_2 = -8$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(-1 - 8) = 9$.
3. Если $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(2 + 4) = -6$.
4. Если $x_1 = -2$ и $x_2 = -4$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(-2 - 4) = 6$.

Другие пары делителей (например, $x_1 = 8$, $x_2 = 1$) дадут те же значения для $b$. Таким образом, мы нашли все возможные целые значения $b$.

Ответ: $-9, 9, -6, 6$.

2) $x^2 + bx - 18 = 0$

В данном уравнении свободный член равен -18. Пусть $x_1$ и $x_2$ — целые корни. По теореме Виета:

$x_1 \cdot x_2 = -18$

$x_1 + x_2 = -b$

Корни $x_1$ и $x_2$ должны быть целыми делителями числа -18. Так как произведение отрицательное, один корень должен быть положительным, а другой — отрицательным. Выпишем все возможные пары таких делителей и найдем для каждой из них значение $b$:

1. Если $x_1 = 1$ и $x_2 = -18$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(1 - 18) = 17$.
2. Если $x_1 = -1$ и $x_2 = 18$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(-1 + 18) = -17$.
3. Если $x_1 = 2$ и $x_2 = -9$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(2 - 9) = 7$.
4. Если $x_1 = -2$ и $x_2 = 9$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(-2 + 9) = -7$.
5. Если $x_1 = 3$ и $x_2 = -6$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(3 - 6) = 3$.
6. Если $x_1 = -3$ и $x_2 = 6$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(-3 + 6) = -3$.

Другие пары (например, $x_1 = -18$, $x_2 = 1$) приведут к тем же значениям $b$. Таким образом, мы нашли все возможные целые значения $b$.

Ответ: $17, -17, 7, -7, 3, -3$.

742. Корни уравнения $x^2 + bx + c = 0$ равны его коэффициентам $b$ и $c$. Найдите $b$ и $c$.

Пусть дано квадратное уравнение $x^2 + bx + c = 0$.По условию задачи, корнями этого уравнения являются его коэффициенты $b$ и $c$. Обозначим корни как $x_1 = b$ и $x_2 = c$.

Для приведенного квадратного уравнения (коэффициент при $x^2$ равен 1) по теореме Виета справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

Подставим в эти формулы значения корней $x_1 = b$ и $x_2 = c$. Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными $b$ и $c$:
$b + c = -b$
$b \cdot c = c$

Решим эту систему. Начнем со второго уравнения:
$bc = c$
$bc - c = 0$
$c(b - 1) = 0$
Это уравнение имеет два решения: либо $c = 0$, либо $b - 1 = 0$ (то есть $b = 1$). Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Если c = 0.
Подставим это значение в первое уравнение системы ($b + c = -b$):
$b + 0 = -b$
$b = -b$
$2b = 0$
$b = 0$
Таким образом, первая пара решений: $b=0$ и $c=0$.
Проверка: Уравнение $x^2 + 0x + 0 = 0$ или $x^2 = 0$ имеет корни $x_1=0, x_2=0$. Коэффициенты $b=0, c=0$ равны корням. Решение верное.

2. Если b = 1.
Подставим это значение в первое уравнение системы ($b + c = -b$):
$1 + c = -1$
$c = -1 - 1$
$c = -2$
Таким образом, вторая пара решений: $b=1$ и $c=-2$.
Проверка: Уравнение $x^2 + x - 2 = 0$. Найдем его корни, например, разложив на множители: $(x+2)(x-1)=0$. Корни уравнения: $x_1=-2, x_2=1$. Коэффициенты $b=1, c=-2$ равны корням. Решение верное.

Ответ: $b=0, c=0$ или $b=1, c=-2$.

743. При каком значении $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 4x + a = 0$ равна:

1) 12;

2) 6?

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для заданного квадратного уравнения $x^2 - 4x + a = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Согласно теореме Виета, для данного уравнения справедливы следующие соотношения: сумма корней $x_1 + x_2 = -(-4) = 4$, и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = a$.

Нас интересует сумма квадратов корней, то есть $x_1^2 + x_2^2$. Выразим эту сумму через сумму и произведение корней с помощью формулы квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Отсюда следует, что $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим значения, полученные из теоремы Виета:

$x_1^2 + x_2^2 = 4^2 - 2a = 16 - 2a$.

Важным условием является наличие у уравнения действительных корней. Это условие выполняется, если дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$.

Решим неравенство $16 - 4a \ge 0$:

$16 \ge 4a$

$4 \ge a$, или $a \le 4$.

Это означает, что действительные корни существуют только при $a \le 4$. Теперь рассмотрим каждый из двух случаев, заданных в условии.

1) 12

Требуется найти значение $a$, при котором сумма квадратов корней равна 12. Составим уравнение:

$16 - 2a = 12$

Решим это уравнение относительно $a$:

$2a = 16 - 12$

$2a = 4$

$a = 2$

Проверим, выполняется ли для этого значения $a$ условие существования действительных корней $a \le 4$.

Поскольку $2 \le 4$, условие выполнено. Значит, $a=2$ является искомым значением.

Ответ: $a=2$.

2) 6

Требуется найти значение $a$, при котором сумма квадратов корней равна 6. Составим уравнение:

$16 - 2a = 6$

Решим это уравнение относительно $a$:

$2a = 16 - 6$

$2a = 10$

$a = 5$

Проверим, выполняется ли для этого значения $a$ условие существования действительных корней $a \le 4$.

Поскольку $5 > 4$, условие не выполнено. Это означает, что при $a=5$ дискриминант уравнения отрицателен ($D = 16 - 4 \cdot 5 = -4 < 0$), и, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Такого значения $a$ не существует.

744. При каком значении $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$ равна 9?

Дано квадратное уравнение $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Согласно условию задачи, сумма их квадратов должна быть равна 9, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 9$.

Прежде всего, для существования действительных корней, дискриминант $D$ уравнения должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Найдем дискриминант для данного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (a - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a) = a^2 - 2a + 1 + 8a = a^2 + 6a + 1$.

Следовательно, должно выполняться условие: $a^2 + 6a + 1 \ge 0$.

Теперь воспользуемся теоремой Виета, которая связывает корни уравнения с его коэффициентами. Для нашего уравнения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(a - 1) = 1 - a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2a$

Выразим сумму квадратов корней, $x_1^2 + x_2^2$, через сумму и произведение корней. Известно, что $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим в это равенство выражения из теоремы Виета и значение из условия задачи:

$(1 - a)^2 - 2(-2a) = 9$

Теперь решим полученное уравнение относительно параметра $a$:

$1 - 2a + a^2 + 4a = 9$

Приведем подобные члены:

$a^2 + 2a + 1 = 9$

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат:

$(a + 1)^2 = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

$a + 1 = 3$ или $a + 1 = -3$

Отсюда находим два возможных значения для $a$:

$a_1 = 3 - 1 = 2$

$a_2 = -3 - 1 = -4$

Нам необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $a$ условию неотрицательности дискриминанта $D = a^2 + 6a + 1 \ge 0$.

1. Проверим $a = 2$:
   $D = (2)^2 + 6(2) + 1 = 4 + 12 + 1 = 17$.
   Поскольку $17 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, значение $a = 2$ является решением.
2. Проверим $a = -4$:
   $D = (-4)^2 + 6(-4) + 1 = 16 - 24 + 1 = -7$.
   Поскольку $-7 < 0$, при данном значении $a$ уравнение не имеет действительных корней, а значит, говорить о сумме их квадратов бессмысленно в контексте действительных чисел. Следовательно, $a = -4$ не является решением.

Таким образом, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию задачи, — это $a=2$.

Ответ: 2.

745. Сократите дробь:

1) $\frac{4a - 16}{a^2 - 16}$;

2) $\frac{12b^3 - 8b^2}{2 - 3b}$;

3) $\frac{c^2 + 10c + 25}{5c + 25}$;

4) $\frac{4 - m^2}{m^2 - 4m + 4}$;

5) $\frac{n^3 - n^5}{n^3 - n}$;

6) $\frac{2 - 2x^2}{4x^2 - 8x + 4}$;

1) Чтобы сократить дробь $\frac{4a - 16}{a^2 - 16}$, разложим её числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель 4 за скобки: $4a - 16 = 4(a - 4)$.

Знаменатель является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $a^2 - 16 = a^2 - 4^2 = (a - 4)(a + 4)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(a-4)$, при условии что $a \neq 4$:
$\frac{4(a - 4)}{(a - 4)(a + 4)} = \frac{4}{a + 4}$.

Ответ: $\frac{4}{a + 4}$

2) Сократим дробь $\frac{12b^3 - 8b^2}{2 - 3b}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $4b^2$: $12b^3 - 8b^2 = 4b^2(3b - 2)$.

В знаменателе вынесем за скобки -1, чтобы получить выражение, совпадающее с множителем в числителе: $2 - 3b = -(3b - 2)$.

Подставим и сократим общий множитель $(3b-2)$, при условии что $b \neq \frac{2}{3}$:
$\frac{4b^2(3b - 2)}{-(3b - 2)} = \frac{4b^2}{-1} = -4b^2$.

Ответ: $-4b^2$

3) Сократим дробь $\frac{c^2 + 10c + 25}{5c + 25}$.

Числитель представляет собой полный квадрат суммы, который раскладывается по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$: $c^2 + 10c + 25 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 5 + 5^2 = (c + 5)^2$.

В знаменателе вынесем общий множитель 5 за скобки: $5c + 25 = 5(c + 5)$.

Подставим и сократим общий множитель $(c+5)$, при условии что $c \neq -5$:
$\frac{(c + 5)^2}{5(c + 5)} = \frac{(c + 5)(c+5)}{5(c + 5)} = \frac{c + 5}{5}$.

Ответ: $\frac{c + 5}{5}$

4) Сократим дробь $\frac{4 - m^2}{m^2 - 4m + 4}$.

Числитель — это разность квадратов: $4 - m^2 = 2^2 - m^2 = (2 - m)(2 + m)$.

Знаменатель — это полный квадрат разности: $m^2 - 4m + 4 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = (m - 2)^2$.

Подставим полученные выражения в дробь. Заметим, что $2 - m = -(m - 2)$.
$\frac{(2 - m)(2 + m)}{(m - 2)^2} = \frac{-(m - 2)(m + 2)}{(m - 2)(m - 2)}$.
Сократим общий множитель $(m-2)$, при условии что $m \neq 2$:
$\frac{-(m + 2)}{m - 2} = -\frac{m + 2}{m - 2}$.

Ответ: $-\frac{m + 2}{m - 2}$

5) Сократим дробь $\frac{n^3 - n^5}{n^3 - n}$.

Разложим числитель на множители: $n^3 - n^5 = n^3(1 - n^2) = n^3(1 - n)(1 + n)$.

Разложим знаменатель на множители: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$.

Подставим выражения в дробь. Учтём, что $1 - n = -(n - 1)$.
$\frac{n^3(1 - n)(1 + n)}{n(n - 1)(n + 1)} = \frac{n^3(-(n - 1))(n + 1)}{n(n - 1)(n + 1)}$.
Сократим общие множители $n$, $(n-1)$ и $(n+1)$, при условии что $n \neq 0, n \neq 1, n \neq -1$:
$\frac{-n^3}{n} = -n^{3-1} = -n^2$.

Ответ: $-n^2$

6) Сократим дробь $\frac{2 - 2x^2}{4x^2 - 8x + 4}$.

Разложим на множители числитель: $2 - 2x^2 = 2(1 - x^2) = 2(1 - x)(1 + x)$.

Разложим на множители знаменатель: $4x^2 - 8x + 4 = 4(x^2 - 2x + 1) = 4(x - 1)^2$.

Подставим выражения в дробь. Учтём, что $1 - x = -(x - 1)$.
$\frac{2(1 - x)(1 + x)}{4(x - 1)^2} = \frac{2(-(x - 1))(1 + x)}{4(x - 1)^2}$.
Сократим общий множитель $(x-1)$ и числовые коэффициенты, при условии что $x \neq 1$:
$\frac{-2(1 + x)}{4(x - 1)} = \frac{-(1 + x)}{2(x - 1)} = -\frac{1 + x}{2(x - 1)}$.

Ответ: $-\frac{1+x}{2(x-1)}$

746. В саду посадили рядами 48 деревьев с одинаковым количеством деревьев в каждом ряду. Рядов оказалось на 8 меньше, чем деревьев в каждом из них. Сколько деревьев посадили в каждом ряду и сколько было рядов?

Для решения данной задачи составим систему уравнений. Обозначим количество деревьев в каждом ряду за $x$, а количество рядов за $y$.

Согласно условию, общее число посаженных деревьев равно 48. Это можно выразить уравнением:

$x \cdot y = 48$

Также в условии сказано, что рядов оказалось на 8 меньше, чем деревьев в каждом из них. Это можно записать в виде следующего уравнения:

$y = x - 8$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x \cdot y = 48 \\ y = x - 8 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x \cdot (x - 8) = 48$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 - 8x = 48$

$x^2 - 8x - 48 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета. Нам нужно найти два корня, произведение которых равно $-48$, а сумма равна $8$. Методом подбора находим эти числа: $12$ и $-4$.

$12 \cdot (-4) = -48$

$12 + (-4) = 8$

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 12$ и $x_2 = -4$.

Поскольку $x$ обозначает количество деревьев, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, нам подходит только корень $x = 12$.

Итак, в каждом ряду было посажено 12 деревьев.

Теперь, зная $x$, мы можем найти количество рядов $y$:

$y = x - 8 = 12 - 8 = 4$

Таким образом, в саду было 4 ряда.

Проверка:

Количество деревьев в ряду (12) на 8 больше, чем количество рядов (4), что соответствует условию ($12 - 4 = 8$).

Общее количество деревьев равно произведению количества деревьев в ряду на количество рядов: $12 \cdot 4 = 48$. Это также соответствует условию задачи.

Ответ: в каждом ряду посадили 12 деревьев, всего было 4 ряда.

747. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = x + 2$. Начертите графики данных функций и отметьте найденные точки.

Нахождение координат точек пересечения

Даны две функции: $y = x^2$ и $y = x + 2$. Чтобы найти координаты точек пересечения их графиков, необходимо решить систему уравнений. В точках пересечения значения координат $(x, y)$ для обеих функций совпадают, поэтому мы можем приравнять выражения для $y$.

$$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases} $$

Приравниваем правые части уравнений:
$x^2 = x + 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь для каждой абсциссы найдем соответствующую ординату ($y$), подставив значение $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать линейное уравнение $y = x + 2$.

Для $x_1 = 2$:
$y_1 = 2 + 2 = 4$

Для $x_2 = -1$:
$y_2 = -1 + 2 = 1$

Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках с координатами $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.

Построение графиков и отметка найденных точек

Для наглядности построим графики данных функций в одной системе координат.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола. Её вершина находится в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Она симметрична относительно оси OY и проходит через контрольные точки, такие как $(-1, 1)$, $(1, 1)$, $(-2, 4)$, $(2, 4)$.

2. График функции $y = x + 2$ — это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек. Удобно найти точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, $y = 0 + 2 = 2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 2)$.
• При $y=0$, $0 = x + 2 \Rightarrow x = -2$. Точка пересечения с осью OX: $(-2, 0)$.

Построим эти графики и отметим найденные в первой части точки пересечения.

Ответ: График с отмеченными точками пересечения представлен выше.

748. В саду $60 \%$ деревьев составляют вишни и сливы, из них $30 \%$ составляют сливы. Какой процент всех деревьев сада составляют сливы?

Для того чтобы найти, какой процент от всех деревьев в саду составляют сливы, необходимо выполнить последовательные вычисления. Задача сводится к нахождению процента от процента.

Шаг 1: Нахождение доли вишен и слив от общего количества деревьев.
По условию, 60% всех деревьев в саду — это вишни и сливы. Представим этот процент в виде десятичной дроби:
$60\% = \frac{60}{100} = 0.6$
Таким образом, вишни и сливы составляют 0.6 от всех деревьев в саду.

Шаг 2: Нахождение доли слив от группы "вишни и сливы".
Известно, что 30% от группы деревьев, состоящей из вишен и слив, являются сливами. Также представим этот процент в виде десятичной дроби:
$30\% = \frac{30}{100} = 0.3$

Шаг 3: Расчет итогового процента слив от всех деревьев сада.
Чтобы найти долю слив от общего количества деревьев, нужно умножить долю группы "вишни и сливы" на долю слив внутри этой группы:
$0.6 \times 0.3 = 0.18$
Это и есть доля слив от общего числа деревьев в саду, выраженная десятичной дробью.

Шаг 4: Преобразование доли в проценты.
Чтобы перевести полученную десятичную дробь обратно в проценты, умножим ее на 100%:
$0.18 \times 100\% = 18\%$

Ответ: 18%