Номер 741, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 741, страница 179.

Условие.

741. Найдите все целые значения b, при которых имеет целые корни уравнение:

1) $x^2 + bx + 8 = 0$;

2) $x^2 + bx - 18 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы приведенное квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имело целые корни, необходимо, чтобы его коэффициенты были целыми (по условию $b$ — целое число), и чтобы его корни удовлетворяли теореме Виета.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — целые корни уравнения. По теореме Виета, для уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = c$

Поскольку корни $x_1$ и $x_2$ являются целыми числами, из второго равенства следует, что они должны быть парой целых делителей свободного члена $c$. Так как сумма двух целых чисел всегда является целым числом, то и значение $b = -(x_1 + x_2)$ также будет целым. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти все возможные пары целых делителей свободного члена и для каждой пары вычислить соответствующее значение $b$.

1) $x^2 + bx + 8 = 0$

В данном уравнении свободный член равен 8. Пусть $x_1$ и $x_2$ — целые корни уравнения. Тогда по теореме Виета:

$x_1 \cdot x_2 = 8$

$x_1 + x_2 = -b$

Корни $x_1$ и $x_2$ должны быть целыми делителями числа 8. Выпишем все возможные пары таких делителей и найдем для каждой из них значение $b$:

1. Если $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(1 + 8) = -9$.
2. Если $x_1 = -1$ и $x_2 = -8$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(-1 - 8) = 9$.
3. Если $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(2 + 4) = -6$.
4. Если $x_1 = -2$ и $x_2 = -4$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(-2 - 4) = 6$.

Другие пары делителей (например, $x_1 = 8$, $x_2 = 1$) дадут те же значения для $b$. Таким образом, мы нашли все возможные целые значения $b$.

Ответ: $-9, 9, -6, 6$.

2) $x^2 + bx - 18 = 0$

В данном уравнении свободный член равен -18. Пусть $x_1$ и $x_2$ — целые корни. По теореме Виета:

$x_1 \cdot x_2 = -18$

$x_1 + x_2 = -b$

Корни $x_1$ и $x_2$ должны быть целыми делителями числа -18. Так как произведение отрицательное, один корень должен быть положительным, а другой — отрицательным. Выпишем все возможные пары таких делителей и найдем для каждой из них значение $b$:

1. Если $x_1 = 1$ и $x_2 = -18$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(1 - 18) = 17$.
2. Если $x_1 = -1$ и $x_2 = 18$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(-1 + 18) = -17$.
3. Если $x_1 = 2$ и $x_2 = -9$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(2 - 9) = 7$.
4. Если $x_1 = -2$ и $x_2 = 9$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(-2 + 9) = -7$.
5. Если $x_1 = 3$ и $x_2 = -6$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(3 - 6) = 3$.
6. Если $x_1 = -3$ и $x_2 = 6$, то $b = -(x_1 + x_2) = -(-3 + 6) = -3$.

Другие пары (например, $x_1 = -18$, $x_2 = 1$) приведут к тем же значениям $b$. Таким образом, мы нашли все возможные целые значения $b$.

Ответ: $17, -17, 7, -7, 3, -3$.