Номер 738, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 738, страница 179.

Условие.

738. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - ax + 8 = 0$ удовлетворяют условию $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{5}{2}$. Найдите значение $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Дано квадратное уравнение $x^2 - ax + 8 = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 x_2 = q$.

В нашем случае $p = -a$ и $q = 8$. Следовательно, для корней $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-a) = a$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 8$

По условию задачи, корни удовлетворяют равенству: $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{5}{2}$

Преобразуем левую часть этого равенства, приведя дроби к общему знаменателю $x_1x_2$: $\frac{x_1 \cdot x_1 + x_2 \cdot x_2}{x_1 x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{5}{2}$

Чтобы выразить числитель $x_1^2 + x_2^2$ через сумму и произведение корней, воспользуемся тождеством $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда получаем: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим это выражение обратно в преобразованное условие: $\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{5}{2}$

Теперь заменим $x_1 + x_2$ на $a$ и $x_1x_2$ на 8: $\frac{a^2 - 2 \cdot 8}{8} = \frac{5}{2}$

$\frac{a^2 - 16}{8} = \frac{5}{2}$

Для решения этого уравнения относительно $a$ умножим обе части на 8: $a^2 - 16 = \frac{5 \cdot 8}{2}$

$a^2 - 16 = 5 \cdot 4$

$a^2 - 16 = 20$

$a^2 = 20 + 16$

$a^2 = 36$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим возможные значения $a$: $a = \pm\sqrt{36}$

$a_1 = 6$, $a_2 = -6$

Убедимся, что при этих значениях $a$ исходное уравнение имеет действительные корни. Дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). $D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = a^2 - 32$. Для $a = \pm 6$, $a^2 = 36$. $D = 36 - 32 = 4$. Так как $D = 4 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при каждом из найденных значений $a$. Также, поскольку $x_1x_2 = 8 \neq 0$, ни один из корней не равен нулю, и исходное выражение в условии корректно.

Ответ: $a = \pm 6$.