Номер 732, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 732, страница 178.

Условие.

732. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 5x - 16 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:

1) $x_1^2x_2 + x_2^2x_1$;

2) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$;

3) $|x_2 - x_1|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, корнями которого являются $x_1$ и $x_2$, справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

В заданном уравнении $x^2 + 5x - 16 = 0$ коэффициенты равны $p=5$ и $q=-16$.

Следовательно, сумма и произведение корней этого уравнения равны:

$x_1 + x_2 = -5$

$x_1 \cdot x_2 = -16$

Теперь, не находя сами корни, мы можем вычислить значения требуемых выражений.

1) $x_1^2x_2 + x_2^2x_1$

Для начала преобразуем выражение, вынеся за скобки общий множитель $x_1x_2$:

$x_1^2x_2 + x_2^2x_1 = x_1x_2(x_1 + x_2)$

Теперь подставим в полученное выражение известные нам значения суммы и произведения корней:

$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-16) \cdot (-5) = 80$

Ответ: $80$.

2) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю, которым является произведение $x_1x_2$:

$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$

Знаменатель $x_1x_2$ нам известен. Числитель $x_1^2 + x_2^2$ (сумма квадратов корней) можно выразить через сумму и произведение корней, используя формулу квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда получаем:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения:

$x_1^2 + x_2^2 = (-5)^2 - 2 \cdot (-16) = 25 + 32 = 57$

Теперь можем вычислить значение всего выражения:

$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{57}{-16} = -\frac{57}{16}$

Ответ: $-\frac{57}{16}$.

3) $|x_2 - x_1|$

Модуль разности корней удобно находить через квадрат этой разности, так как $|x_2 - x_1| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2}$. Выразим квадрат разности через сумму и произведение корней:

$(x_2 - x_1)^2 = x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2 = (x_1^2 + x_2^2) - 2x_1x_2$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 57$. Подставим это значение:

$(x_2 - x_1)^2 = 57 - 2 \cdot (-16) = 57 + 32 = 89$

Можно также использовать другую полезную формулу: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

$(x_2 - x_1)^2 = (-5)^2 - 4 \cdot (-16) = 25 + 64 = 89$

Теперь, чтобы найти модуль разности, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$|x_2 - x_1| = \sqrt{89}$

Ответ: $\sqrt{89}$.