Номер 732, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 732, страница 178.
№732 (с. 178)
Условие. №732 (с. 178)
скриншот условия

732. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 5x - 16 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:
1) $x_1^2x_2 + x_2^2x_1$;
2) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$;
3) $|x_2 - x_1|$.
Решение 1. №732 (с. 178)



Решение 2. №732 (с. 178)

Решение 3. №732 (с. 178)

Решение 4. №732 (с. 178)

Решение 5. №732 (с. 178)

Решение 6. №732 (с. 178)


Решение 7. №732 (с. 178)

Решение 8. №732 (с. 178)
Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, корнями которого являются $x_1$ и $x_2$, справедливы следующие соотношения:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$
В заданном уравнении $x^2 + 5x - 16 = 0$ коэффициенты равны $p=5$ и $q=-16$.
Следовательно, сумма и произведение корней этого уравнения равны:
$x_1 + x_2 = -5$
$x_1 \cdot x_2 = -16$
Теперь, не находя сами корни, мы можем вычислить значения требуемых выражений.
1) $x_1^2x_2 + x_2^2x_1$
Для начала преобразуем выражение, вынеся за скобки общий множитель $x_1x_2$:
$x_1^2x_2 + x_2^2x_1 = x_1x_2(x_1 + x_2)$
Теперь подставим в полученное выражение известные нам значения суммы и произведения корней:
$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-16) \cdot (-5) = 80$
Ответ: $80$.
2) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$
Приведем дроби к общему знаменателю, которым является произведение $x_1x_2$:
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$
Знаменатель $x_1x_2$ нам известен. Числитель $x_1^2 + x_2^2$ (сумма квадратов корней) можно выразить через сумму и произведение корней, используя формулу квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда получаем:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
Подставим известные значения:
$x_1^2 + x_2^2 = (-5)^2 - 2 \cdot (-16) = 25 + 32 = 57$
Теперь можем вычислить значение всего выражения:
$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{57}{-16} = -\frac{57}{16}$
Ответ: $-\frac{57}{16}$.
3) $|x_2 - x_1|$
Модуль разности корней удобно находить через квадрат этой разности, так как $|x_2 - x_1| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2}$. Выразим квадрат разности через сумму и произведение корней:
$(x_2 - x_1)^2 = x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2 = (x_1^2 + x_2^2) - 2x_1x_2$
Из предыдущего пункта мы знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 57$. Подставим это значение:
$(x_2 - x_1)^2 = 57 - 2 \cdot (-16) = 57 + 32 = 89$
Можно также использовать другую полезную формулу: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.
$(x_2 - x_1)^2 = (-5)^2 - 4 \cdot (-16) = 25 + 64 = 89$
Теперь, чтобы найти модуль разности, извлечем квадратный корень из полученного значения:
$|x_2 - x_1| = \sqrt{89}$
Ответ: $\sqrt{89}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 732 расположенного на странице 178 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №732 (с. 178), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.