Номер 730, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 730, страница 178.

Условие.

730. Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни уравнения:

1) $7x^2 + 11x - 18 = 0$;

2) $9x^2 - 5x - 4 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $7x^2 + 11x - 18 = 0$

Теорема, обратная теореме Виета, гласит, что если существуют два числа $x_1$ и $x_2$, сумма которых равна $-\frac{b}{a}$, а произведение равно $\frac{c}{a}$, то эти числа являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a = 7$, $b = 11$, $c = -18$. Следовательно, мы ищем корни $x_1$ и $x_2$, удовлетворяющие системе уравнений:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{11}{7} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{-18}{7} \end{cases}$

Заметим, что сумма коэффициентов уравнения $a + b + c = 7 + 11 - 18 = 0$. Это особое свойство квадратных уравнений означает, что один из корней равен 1. Пусть $x_1 = 1$.

Подставим это значение во второе уравнение системы, чтобы найти второй корень $x_2$:

$1 \cdot x_2 = -\frac{18}{7}$

$x_2 = -\frac{18}{7}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденная пара корней $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{18}{7}$ первому уравнению системы (условию для суммы):

$x_1 + x_2 = 1 + (-\frac{18}{7}) = \frac{7}{7} - \frac{18}{7} = -\frac{11}{7}$

Полученное значение совпадает с требуемым. Так как оба условия теоремы, обратной теореме Виета, выполняются, то числа 1 и $-\frac{18}{7}$ являются корнями данного уравнения.

Ответ: $1; -\frac{18}{7}$.

2) $9x^2 - 5x - 4 = 0$

Для данного уравнения коэффициенты равны: $a = 9$, $b = -5$, $c = -4$.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, мы ищем два числа $x_1$ и $x_2$, которые удовлетворяют системе уравнений:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = - \frac{-5}{9} = \frac{5}{9} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{9} = -\frac{4}{9} \end{cases}$

Проверим сумму коэффициентов уравнения: $a + b + c = 9 + (-5) + (-4) = 9 - 9 = 0$. Следовательно, один из корней равен 1. Пусть $x_1 = 1$.

Подставим $x_1 = 1$ во второе уравнение системы (для произведения корней), чтобы найти $x_2$:

$1 \cdot x_2 = -\frac{4}{9}$

$x_2 = -\frac{4}{9}$

Проверим, выполняется ли для найденной пары корней $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{4}{9}$ первое уравнение системы (условие для суммы корней):

$x_1 + x_2 = 1 + (-\frac{4}{9}) = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

Полученное значение совпадает с требуемым значением $-\frac{b}{a}$. Следовательно, по теореме, обратной теореме Виета, числа 1 и $-\frac{4}{9}$ являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $1; -\frac{4}{9}$.