Номер 724, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 724, страница 178.

Условие.

724. Какие из данных уравнений имеют два положительных корня, какие — два отрицательных, а какие — корни разных знаков:

1) $x^2 - 12x + 14 = 0;$

2) $x^2 + 6x - 42 = 0;$

3) $x^2 - 7x - 30 = 0;$

4) $x^2 + 16x + 10 = 0;$

5) $x^2 - 24x + 0,1 = 0;$

6) $x^2 + 20x + 3 = 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для определения знаков корней квадратных уравнений воспользуемся следствиями из теоремы Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$.

Прежде всего, для существования двух действительных корней необходимо, чтобы дискриминант $D = p^2 - 4q$ был положителен ($D > 0$).

• Если свободный член $q > 0$, то корни имеют одинаковые знаки. Знак корней определяется по знаку коэффициента $p$:
  • Если $p < 0$, то сумма корней $-p$ положительна, следовательно, оба корня положительные.
  • Если $p > 0$, то сумма корней $-p$ отрицательна, следовательно, оба корня отрицательные.
• Если свободный член $q < 0$, то произведение корней отрицательно, а это возможно только если корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный). В этом случае дискриминант $D = p^2 - 4q$ всегда будет положительным, так как $p^2 \ge 0$ и $-4q > 0$.

Проанализируем каждое уравнение:

1) $x^2 - 12x + 14 = 0$
Здесь коэффициенты $p = -12$ и $q = 14$.
1. Проверим дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 144 - 56 = 88$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 14 > 0$, значит, корни имеют одинаковый знак.
3. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-12) = 12 > 0$. Так как сумма положительна, оба корня положительные.
Ответ: два положительных корня.

2) $x^2 + 6x - 42 = 0$
Здесь $p = 6$ и $q = -42$.
Поскольку произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = -42 < 0$, корни имеют разные знаки.
Ответ: корни разных знаков.

3) $x^2 - 7x - 30 = 0$
Здесь $p = -7$ и $q = -30$.
Поскольку произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = -30 < 0$, корни имеют разные знаки.
Ответ: корни разных знаков.

4) $x^2 + 16x + 10 = 0$
Здесь $p = 16$ и $q = 10$.
1. Проверим дискриминант: $D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 256 - 40 = 216$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 10 > 0$, значит, корни имеют одинаковый знак.
3. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -16 < 0$. Так как сумма отрицательна, оба корня отрицательные.
Ответ: два отрицательных корня.

5) $x^2 - 24x + 0,1 = 0$
Здесь $p = -24$ и $q = 0,1$.
1. Проверим дискриминант: $D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,1 = 576 - 0,4 = 575,6$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 0,1 > 0$, значит, корни имеют одинаковый знак.
3. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-24) = 24 > 0$. Так как сумма положительна, оба корня положительные.
Ответ: два положительных корня.

6) $x^2 + 20x + 3 = 0$
Здесь $p = 20$ и $q = 3$.
1. Проверим дискриминант: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 400 - 12 = 388$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 3 > 0$, значит, корни имеют одинаковый знак.
3. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -20 < 0$. Так как сумма отрицательна, оба корня отрицательные.
Ответ: два отрицательных корня.

---

Итог:

• Два положительных корня имеют уравнения: 1), 5).
• Два отрицательных корня имеют уравнения: 4), 6).
• Корни разных знаков имеют уравнения: 2), 3).