Номер 724, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 724, страница 178.
№724 (с. 178)
Условие. №724 (с. 178)
скриншот условия

724. Какие из данных уравнений имеют два положительных корня, какие — два отрицательных, а какие — корни разных знаков:
1) $x^2 - 12x + 14 = 0;$
2) $x^2 + 6x - 42 = 0;$
3) $x^2 - 7x - 30 = 0;$
4) $x^2 + 16x + 10 = 0;$
5) $x^2 - 24x + 0,1 = 0;$
6) $x^2 + 20x + 3 = 0?$
Решение 1. №724 (с. 178)






Решение 2. №724 (с. 178)

Решение 3. №724 (с. 178)

Решение 4. №724 (с. 178)

Решение 5. №724 (с. 178)

Решение 6. №724 (с. 178)


Решение 7. №724 (с. 178)

Решение 8. №724 (с. 178)
Для определения знаков корней квадратных уравнений воспользуемся следствиями из теоремы Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$.
Прежде всего, для существования двух действительных корней необходимо, чтобы дискриминант $D = p^2 - 4q$ был положителен ($D > 0$).
- Если свободный член $q > 0$, то корни имеют одинаковые знаки. Знак корней определяется по знаку коэффициента $p$:
- Если $p < 0$, то сумма корней $-p$ положительна, следовательно, оба корня положительные.
- Если $p > 0$, то сумма корней $-p$ отрицательна, следовательно, оба корня отрицательные.
- Если свободный член $q < 0$, то произведение корней отрицательно, а это возможно только если корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный). В этом случае дискриминант $D = p^2 - 4q$ всегда будет положительным, так как $p^2 \ge 0$ и $-4q > 0$.
Проанализируем каждое уравнение:
1) $x^2 - 12x + 14 = 0$
Здесь коэффициенты $p = -12$ и $q = 14$.
1. Проверим дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 144 - 56 = 88$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 14 > 0$, значит, корни имеют одинаковый знак.
3. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-12) = 12 > 0$. Так как сумма положительна, оба корня положительные.
Ответ: два положительных корня.
2) $x^2 + 6x - 42 = 0$
Здесь $p = 6$ и $q = -42$.
Поскольку произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = -42 < 0$, корни имеют разные знаки.
Ответ: корни разных знаков.
3) $x^2 - 7x - 30 = 0$
Здесь $p = -7$ и $q = -30$.
Поскольку произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = -30 < 0$, корни имеют разные знаки.
Ответ: корни разных знаков.
4) $x^2 + 16x + 10 = 0$
Здесь $p = 16$ и $q = 10$.
1. Проверим дискриминант: $D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 256 - 40 = 216$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 10 > 0$, значит, корни имеют одинаковый знак.
3. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -16 < 0$. Так как сумма отрицательна, оба корня отрицательные.
Ответ: два отрицательных корня.
5) $x^2 - 24x + 0,1 = 0$
Здесь $p = -24$ и $q = 0,1$.
1. Проверим дискриминант: $D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,1 = 576 - 0,4 = 575,6$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 0,1 > 0$, значит, корни имеют одинаковый знак.
3. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-24) = 24 > 0$. Так как сумма положительна, оба корня положительные.
Ответ: два положительных корня.
6) $x^2 + 20x + 3 = 0$
Здесь $p = 20$ и $q = 3$.
1. Проверим дискриминант: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 400 - 12 = 388$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 3 > 0$, значит, корни имеют одинаковый знак.
3. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -20 < 0$. Так как сумма отрицательна, оба корня отрицательные.
Ответ: два отрицательных корня.
Итог:
- Два положительных корня имеют уравнения: 1), 5).
- Два отрицательных корня имеют уравнения: 4), 6).
- Корни разных знаков имеют уравнения: 2), 3).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 724 расположенного на странице 178 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №724 (с. 178), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.