Номер 717, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 717, страница 177.

Условие.

717. Число $\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $6x^2 - bx + 4 = 0$. Найдите значение $b$ и второй корень уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Поскольку число $\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $6x^2 - bx + 4 = 0$, оно должно обращать это уравнение в верное числовое равенство при подстановке вместо $x$.

Найдем значение b

Подставим значение корня $x = \frac{1}{3}$ в уравнение: $6 \cdot (\frac{1}{3})^2 - b \cdot \frac{1}{3} + 4 = 0$

Выполним вычисления: $6 \cdot \frac{1}{9} - \frac{b}{3} + 4 = 0$ $\frac{6}{9} - \frac{b}{3} + 4 = 0$ Сократим дробь $\frac{6}{9}$ на 3: $\frac{2}{3} - \frac{b}{3} + 4 = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим каждый член уравнения на 3: $3 \cdot \frac{2}{3} - 3 \cdot \frac{b}{3} + 3 \cdot 4 = 0$ $2 - b + 12 = 0$ $14 - b = 0$ $b = 14$

Ответ: значение $b$ равно 14.

Найдем второй корень уравнения

Теперь, зная $b=14$, мы можем записать уравнение полностью: $6x^2 - 14x + 4 = 0$

Для нахождения второго корня ($x_2$) воспользуемся теоремой Виета. Согласно теореме Виета для квадратного уравнения вида $ax^2+kx+c=0$, произведение его корней $x_1$ и $x_2$ равно $\frac{c}{a}$.

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a=6$, $k=-14$, $c=4$. Один из корней нам известен: $x_1 = \frac{1}{3}$. Применим формулу для произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ $\frac{1}{3} \cdot x_2 = \frac{4}{6}$

Упростим правую часть: $\frac{1}{3} \cdot x_2 = \frac{2}{3}$

Чтобы найти $x_2$, разделим обе части равенства на $\frac{1}{3}$ (или умножим на 3): $x_2 = \frac{2}{3} \cdot 3$ $x_2 = 2$

Ответ: второй корень уравнения равен 2.