Номер 711, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 711, страница 177.

Условие.

711. Найдите коэффициенты $b$ и $c$ уравнения $x^2 + bx + c = 0$, если его корнями являются числа:

1) -8 и 6;

2) 4 и 5.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$. Уравнение называется приведенным, так как коэффициент при $x^2$ равен 1.

Согласно теореме Виета:

• Сумма корней уравнения ($x_1 + x_2$) равна коэффициенту $b$, взятому с противоположным знаком.
• Произведение корней ($x_1 \cdot x_2$) равно свободному члену $c$.

Таким образом, мы имеем систему соотношений:

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = c$

Подставим известные значения корней для каждого случая.

1) Корнями уравнения являются числа $-8$ и $6$.

Пусть $x_1 = -8$ и $x_2 = 6$.

Найдем коэффициент $b$, используя формулу для суммы корней:

$-b = x_1 + x_2 = -8 + 6 = -2$

Из этого следует, что $b = 2$.

Найдем коэффициент $c$, используя формулу для произведения корней:

$c = x_1 \cdot x_2 = (-8) \cdot 6 = -48$

Уравнение принимает вид: $x^2 + 2x - 48 = 0$.

Ответ: $b = 2, c = -48$.

2) Корнями уравнения являются числа $4$ и $5$.

Пусть $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$.

Найдем коэффициент $b$:

$-b = x_1 + x_2 = 4 + 5 = 9$

Из этого следует, что $b = -9$.

Найдем коэффициент $c$:

$c = x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot 5 = 20$

Уравнение принимает вид: $x^2 - 9x + 20 = 0$.

Ответ: $b = -9, c = 20$.