Номер 4, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 4, страница 176.

Условие.

4. Сформулируйте следствие из теоремы, обратной теореме Виета.

Решение 2.

Решение 8.

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма равна $-p$, а их произведение равно $q$ (то есть $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$), то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Эта теорема является основой для метода решения квадратных уравнений путём подбора корней. Следствие из этой теоремы позволяет значительно упростить и ускорить этот подбор, так как даёт возможность определить знаки корней уравнения, исходя из знаков его коэффициентов.

Следствие из теоремы, обратной теореме Виета

Для приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, которое имеет действительные корни, можно сформулировать следующие правила для определения знаков корней:

1. Если свободный член $q$ положителен ($q > 0$), то оба корня ($x_1$ и $x_2$) имеют одинаковый знак. При этом:

   • Если второй коэффициент $p$ отрицателен ($p < 0$), то оба корня положительны. Это следует из того, что их сумма $x_1 + x_2 = -p$ является положительным числом.
   • Если второй коэффициент $p$ положителен ($p > 0$), то оба корня отрицательны, так как их сумма $x_1 + x_2 = -p$ является отрицательным числом.

2. Если свободный член $q$ отрицателен ($q < 0$), то корни ($x_1$ и $x_2$) имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный). При этом:

   • Если второй коэффициент $p$ отрицателен ($p < 0$), то положительный корень имеет больший модуль. Это следует из того, что их сумма $x_1 + x_2 = -p$ положительна.
   • Если второй коэффициент $p$ положителен ($p > 0$), то отрицательный корень имеет больший модуль, так как их сумма $x_1 + x_2 = -p$ отрицательна.

Данное следствие помогает при подборе целочисленных корней, сужая круг поиска. Например, для уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$ мы видим, что $q = 15 > 0$ и $p = -8 < 0$. Согласно следствию, оба корня должны быть положительными. Нам остаётся найти два положительных числа, произведение которых равно 15, а сумма равна 8. Это числа 3 и 5.

Ответ: Если свободный член $q$ приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ положителен ($q > 0$), то уравнение (если оно имеет действительные корни) имеет два корня одного знака, и этот знак противоположен знаку второго коэффициента $p$. Если свободный член $q$ отрицателен ($q < 0$), то уравнение имеет два корня разных знаков, причём знак корня с бо́льшим модулем противоположен знаку коэффициента $p$.