Номер 2, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 176.

Условие.

2. Сформулируйте следствие из теоремы Виета.

Решение 2.

Решение 8.

Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Для общего квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Практически важным следствием из этой теоремы является формулировка для приведенного квадратного уравнения (в котором коэффициент при $x^2$ равен 1). Такое уравнение имеет вид $x^2 + px + q = 0$. В этом случае $a=1$, $b=p$ и $c=q$, и формулы Виета принимают более простой вид:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

На основе этого простого вида формулируется теорема, обратная теореме Виета, которую и принято называть следствием из теоремы Виета.

Формулировка следствия:
Если существуют два числа $m$ и $n$, сумма которых равна $-p$, а произведение равно $q$ (то есть $m + n = -p$ и $m \cdot n = q$), то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Это следствие очень удобно для устного подбора целочисленных корней приведенных квадратных уравнений, а также для составления квадратного уравнения по известным корням.

Пример использования:
Рассмотрим уравнение $x^2 - 8x + 15 = 0$.
Здесь $p = -8$ и $q = 15$. Согласно следствию, мы ищем два числа, произведение которых равно $15$, а сумма равна $-p = -(-8) = 8$.
Легко подобрать такие числа: это $3$ и $5$, поскольку $3 \cdot 5 = 15$ и $3 + 5 = 8$.
Следовательно, $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$ являются корнями данного уравнения.

Ответ: Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма $x_1 + x_2 = -p$ и их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.