Номер 703, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 703, страница 172.

Условие.

703. Заполните таблицу, где $a$, $b$ и $c$ – коэффициенты квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, а $x_1$ и $x_2$ – его корни.

Уравнение	$-\frac{b}{a}$	$\frac{c}{a}$	$x_1$	$x_2$	$x_1 + x_2$	$x_1 x_2$
$7x^2 - 8x + 1 = 0$
$6x^2 + 13x - 15 = 0$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для заполнения таблицы воспользуемся теоремой Виета и формулой для нахождения корней квадратного уравнения.

Согласно теореме Виета для уравнения $ax^2+bx+c=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Это означает, что значения в столбцах $-\frac{b}{a}$ и $x_1+x_2$ должны совпадать, так же как и значения в столбцах $\frac{c}{a}$ и $x_1x_2$.

Корни уравнения находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.

---

Для уравнения $7x^2 - 8x + 1 = 0$

1. Определяем коэффициенты: $a = 7$, $b = -8$, $c = 1$.

2. Находим значения для столбцов $-\frac{b}{a}$ и $\frac{c}{a}$:

$-\frac{b}{a} = -\frac{-8}{7} = \frac{8}{7}$

$\frac{c}{a} = \frac{1}{7}$

3. По теореме Виета, значения в столбцах $x_1+x_2$ и $x_1x_2$ будут такими же:

$x_1+x_2 = \frac{8}{7}$

$x_1x_2 = \frac{1}{7}$

4. Находим корни уравнения $x_1$ и $x_2$. Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 7} = \frac{8 - 6}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 7} = \frac{8 + 6}{14} = \frac{14}{14} = 1$

Ответ: $-\frac{b}{a} = \frac{8}{7}$, $\frac{c}{a} = \frac{1}{7}$, $x_1 = \frac{1}{7}$, $x_2 = 1$, $x_1 + x_2 = \frac{8}{7}$, $x_1 x_2 = \frac{1}{7}$.

---

Для уравнения $6x^2 + 13x - 15 = 0$

1. Определяем коэффициенты: $a = 6$, $b = 13$, $c = -15$.

2. Находим значения для столбцов $-\frac{b}{a}$ и $\frac{c}{a}$:

$-\frac{b}{a} = -\frac{13}{6}$

$\frac{c}{a} = \frac{-15}{6} = -\frac{5}{2}$

3. По теореме Виета, значения в столбцах $x_1+x_2$ и $x_1x_2$ будут такими же:

$x_1+x_2 = -\frac{13}{6}$

$x_1x_2 = -\frac{5}{2}$

4. Находим корни уравнения $x_1$ и $x_2$. Сначала вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-15) = 169 + 360 = 529$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня ($\sqrt{529}=23$):

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 23}{2 \cdot 6} = \frac{-36}{12} = -3$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 23}{2 \cdot 6} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: $-\frac{b}{a} = -\frac{13}{6}$, $\frac{c}{a} = -\frac{5}{2}$, $x_1 = -3$, $x_2 = \frac{5}{6}$, $x_1 + x_2 = -\frac{13}{6}$, $x_1 x_2 = -\frac{5}{2}$.

Итоговая заполненная таблица:

Уравнение	$-\frac{b}{a}$	$\frac{c}{a}$	$x_1$	$x_2$	$x_1 + x_2$	$x_1 x_2$
$7x^2 - 8x + 1 = 0$	$\frac{8}{7}$	$\frac{1}{7}$	$1$	$\frac{1}{7}$	$\frac{8}{7}$	$\frac{1}{7}$
$6x^2 + 13x - 15 = 0$	$-\frac{13}{6}$	$-\frac{5}{2}$	$-3$	$\frac{5}{6}$	$-\frac{13}{6}$	$-\frac{5}{2}$