Номер 697, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 697, страница 171.

Условие.

697. Упростите выражение:

$ \left( \frac{a+b}{a} - \frac{4b}{a+b} \right) \cdot \frac{a+b}{a-b} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы упростить выражение $ \left( \frac{a+b}{a} - \frac{4b}{a+b} \right) \cdot \frac{a+b}{a-b} $, необходимо сначала выполнить действие в скобках, а затем умножение.

1. Выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $ a(a+b) $.

$ \frac{a+b}{a} - \frac{4b}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a(a+b)} - \frac{4b \cdot a}{a(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - 4ab}{a(a+b)} $

Упростим числитель полученной дроби. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $, и приведем подобные слагаемые:

$ (a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 $

Полученный числитель можно свернуть по формуле квадрата разности $ x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2 $:

$ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $

Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{(a-b)^2}{a(a+b)} $.

2. Теперь выполним умножение результата на вторую дробь:

$ \frac{(a-b)^2}{a(a+b)} \cdot \frac{a+b}{a-b} $

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $ (a+b) $ сокращается полностью. Множитель $ (a-b) $ в знаменателе сокращается с одним из множителей $ (a-b) $ в числителе (где он стоит в квадрате):

$ \frac{(a-b)^{\cancel{2}}}{a \cdot \cancel{(a+b)}} \cdot \frac{\cancel{(a+b)}}{\cancel{(a-b)}} = \frac{a-b}{a} $

Упрощение справедливо при области допустимых значений, где знаменатели не равны нулю: $ a \neq 0 $, $ a+b \neq 0 $ и $ a-b \neq 0 $.

Ответ: $ \frac{a-b}{a} $