Номер 692, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 692, страница 171.

Условие.

692. Докажите, что при любом значении b уравнение $x^2 + bx - 7 = 0$ имеет два корня.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что данное квадратное уравнение имеет два корня при любом значении параметра b, необходимо найти его дискриминант и показать, что он всегда положителен. Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант $D > 0$.

Рассмотрим уравнение $x^2 + bx - 7 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + kx + c = 0$, где коэффициенты равны:
$a = 1$
$k = b$
$c = -7$

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = k^2 - 4ac$:
$D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = b^2 + 28$.

Теперь необходимо проанализировать знак полученного выражения для дискриминанта: $D = b^2 + 28$.
Выражение $b^2$ является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным, то есть $b^2 \ge 0$ при любом значении b.
Следовательно, сумма $b^2 + 28$ всегда будет строго положительной, так как к неотрицательному числу $b^2$ прибавляется положительное число 28.
Минимальное значение выражения $b^2$ равно 0 (когда $b=0$), поэтому минимальное значение дискриминанта равно $D_{min} = 0 + 28 = 28$.

Таким образом, при любом значении b дискриминант $D = b^2 + 28 \ge 28$, что означает, что $D$ всегда строго больше нуля ($D > 0$).
Поскольку дискриминант уравнения всегда положителен, уравнение $x^2 + bx - 7 = 0$ всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: Дискриминант данного уравнения равен $D = b^2 + 28$. Так как $b^2 \ge 0$ для любого действительного числа $b$, то $D = b^2 + 28 \ge 28$. Поскольку $D > 0$ при любом значении $b$, уравнение всегда имеет два корня.