Страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

685. Решите уравнение:

1) $|x^2 + 10x - 4| = 20;$

2) $x|x| + 12x - 45 = 0;$

3) $\frac{x^3}{|x|} - 14x - 15 = 0;$

4) $x^2 - 8\sqrt{x^2} - 9 = 0.$

1) Исходное уравнение: $|x^2 + 10x - 4| = 20$.
Уравнение с модулем равносильно совокупности двух уравнений:
$x^2 + 10x - 4 = 20$ или $x^2 + 10x - 4 = -20$.

Решим первое уравнение:
$x^2 + 10x - 4 = 20$
$x^2 + 10x - 24 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-10 - 14}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
$x_2 = \frac{-10 + 14}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Решим второе уравнение:
$x^2 + 10x - 4 = -20$
$x^2 + 10x + 16 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 = 6^2$.
Найдем корни:
$x_3 = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
$x_4 = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Объединяем все найденные корни.
Ответ: $\{-12; -8; -2; 2\}$.

2) Исходное уравнение: $x|x| + 12x - 45 = 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.
Уравнение принимает вид:
$x \cdot x + 12x - 45 = 0$
$x^2 + 12x - 45 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 144 + 180 = 324 = 18^2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-12 + 18}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 0$.
$x_2 = \frac{-12 - 18}{2} = \frac{-30}{2} = -15$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.
Уравнение принимает вид:
$x \cdot (-x) + 12x - 45 = 0$
$-x^2 + 12x - 45 = 0$
$x^2 - 12x + 45 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 144 - 180 = -36$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Единственным решением уравнения является $x=3$.
Ответ: $\{3\}$.

3) Исходное уравнение: $\frac{x^3}{|x|} - 14x - 15 = 0$.
Область допустимых значений: $x \ne 0$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x > 0$. Тогда $|x| = x$.
$\frac{x^3}{x} - 14x - 15 = 0$
$x^2 - 14x - 15 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$. Этот корень удовлетворяет условию $x > 0$.
$x_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. Этот корень не удовлетворяет условию $x > 0$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.
$\frac{x^3}{-x} - 14x - 15 = 0$
$-x^2 - 14x - 15 = 0$
$x^2 + 14x + 15 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 196 - 60 = 136$.
$\sqrt{D} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$.
Найдем корни:
$x_3 = \frac{-14 - 2\sqrt{34}}{2} = -7 - \sqrt{34}$. Так как $\sqrt{34} > 0$, то $x_3 < 0$. Корень подходит.
$x_4 = \frac{-14 + 2\sqrt{34}}{2} = -7 + \sqrt{34}$. Так как $49 > 34$, то $7 > \sqrt{34}$, следовательно $-7 + \sqrt{34} < 0$. Корень подходит.

Объединяем найденные корни из обоих случаев.
Ответ: $\{15; -7 - \sqrt{34}; -7 + \sqrt{34}\}$.

4) Исходное уравнение: $x^2 - 8\sqrt{x^2} - 9 = 0$.
Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$.
Уравнение принимает вид:
$x^2 - 8|x| - 9 = 0$
Так как $x^2 = |x|^2$, перепишем уравнение:
$|x|^2 - 8|x| - 9 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, при этом $t \ge 0$.
$t^2 - 8t - 9 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 8$
$t_1 \cdot t_2 = -9$
Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.
Проверим условие $t \ge 0$.
$t_1 = 9$ - удовлетворяет условию.
$t_2 = -1$ - не удовлетворяет условию, является посторонним корнем.

Возвращаемся к исходной переменной:
$|x| = 9$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 9$
$x_2 = -9$

Ответ: $\{-9; 9\}$.

686. Решите уравнение:

1) $x^2 + 2x + \frac{3}{x-8} = \frac{3}{x-8} + 80;$

2) $x^2 + 8(\sqrt{x})^2 - 33 = 0.$

1) $x^2 + 2x + \frac{3}{x-8} = \frac{3}{x-8} + 80$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. В уравнении присутствует дробь, знаменатель которой не должен быть равен нулю.

$x - 8 \neq 0$

$x \neq 8$

Теперь приступим к решению уравнения. Заметим, что в обеих частях уравнения есть одинаковый член $\frac{3}{x-8}$. Вычтем его из обеих частей:

$x^2 + 2x + \frac{3}{x-8} - \frac{3}{x-8} = 80$

Уравнение упрощается до:

$x^2 + 2x = 80$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 2x - 80 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант. Воспользуемся дискриминантом: $D = b^2 - 4ac$.

Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a=1$, $b=2$, $c=-80$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{324}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 8$).

Корень $x_1 = -10$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-10 \neq 8$.

Корень $x_2 = 8$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=8$ знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Следовательно, $x=8$ является посторонним корнем и не является решением уравнения.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=-10$.

Ответ: -10

2) $x^2 + 8(\sqrt{x})^2 - 33 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). В уравнении присутствует квадратный корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

Упростим уравнение. По определению, для всех $x$ из ОДЗ, $(\sqrt{x})^2 = x$. Подставим это в уравнение:

$x^2 + 8x - 33 = 0$

Получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=8$, $c=-33$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 14}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 14}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = -11$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-11 < 0$. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $3 \ge 0$.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 3

687. Решите уравнение:

1) $6x^2 + 5x - \frac{1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$;

2) $5x^2 - 14(\sqrt{x})^2 - 3 = 0$.

1) $6x^2 + 5x - \frac{1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно:
$x + 1 \neq 0$
$x \neq -1$

Заметим, что в обеих частях уравнения присутствует одинаковое слагаемое $-\frac{1}{x+1}$. Мы можем прибавить $\frac{1}{x+1}$ к обеим частям уравнения, чтобы оно сократилось:
$6x^2 + 5x - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+1}$
$6x^2 + 5x = 1$

Перенесем 1 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$6x^2 + 5x - 1 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 7}{12} = \frac{-12}{12} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -1$).
Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.
Корень $x_2 = \frac{1}{6}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{6}$

2) $5x^2 - 14(\sqrt{x})^2 - 3 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x \ge 0$

Упростим уравнение. В области допустимых значений ($x \ge 0$) справедливо тождество $(\sqrt{x})^2 = x$. Подставим это в уравнение:
$5x^2 - 14x - 3 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 16}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 16}{10} = \frac{30}{10} = 3$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = -\frac{1}{5}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-\frac{1}{5} < 0$. Следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $3 \ge 0$.

Ответ: $3$

688. При каком значении b имеет единственный корень уравнение:

1) $2x^2 + 4x - b = 0$;

2) $3x^2 - bx + 12 = 0$?

1) Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) равен нулю. Для общего вида квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В уравнении $2x^2 + 4x - b = 0$ коэффициенты равны: $a=2$, $b=4$, $c=-b$.

Вычислим дискриминант и приравняем его к нулю:
$D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-b) = 16 + 8b$
$16 + 8b = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно параметра $b$:
$8b = -16$
$b = \frac{-16}{8}$
$b = -2$

Ответ: $b = -2$.

2) Аналогично, для уравнения $3x^2 - bx + 12 = 0$ найдем значение параметра $b$, при котором дискриминант равен нулю.

Коэффициенты данного уравнения: $a=3$, $b_{coeff}=-b$, $c=12$.

Вычислим дискриминант:
$D = (-b)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = b^2 - 144$

Приравняем дискриминант к нулю и решим уравнение:
$b^2 - 144 = 0$
$b^2 = 144$
$b = \pm\sqrt{144}$
$b_1 = 12, b_2 = -12$

Ответ: $b=12$ или $b=-12$.

689. При каком значении b имеет единственный корень уравнение:

1) $6x^2 - 18x + b = 0;$

2) $8x^2 + bx + 2 = 0?$

Квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ имеет единственный корень (или два совпадающих корня) в том случае, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Формула для вычисления дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Применим это условие ($D=0$) к каждому уравнению.

1) 6x² – 18x + b = 0;

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 6$, коэффициент при $x$ равен $-18$, а свободный член $c = b$.

Составим выражение для дискриминанта:

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 6 \cdot b$

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $b$:

$(-18)^2 - 4 \cdot 6 \cdot b = 0$

$324 - 24b = 0$

$24b = 324$

$b = \frac{324}{24}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:

$b = \frac{27}{2} = 13.5$

Ответ: $b = 13.5$

2) 8x² + bx + 2 = 0?

В этом уравнении коэффициенты следующие: $a = 8$, коэффициент при $x$ равен $b$, а свободный член $c = 2$.

Составим выражение для дискриминанта:

$D = b^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2$

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $b$, при которых уравнение имеет один корень:

$b^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 0$

$b^2 - 64 = 0$

$b^2 = 64$

Из этого следует, что $b$ может принимать два значения:

$b_1 = \sqrt{64} = 8$

$b_2 = -\sqrt{64} = -8$

Ответ: $b = 8$ или $b = -8$

690. Докажите, что при любом значении p имеет два корня уравнение:

1) $4x^2 - px - 3 = 0;$

2) $x^2 + px + p - 2 = 0.$

Для того чтобы доказать, что квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, необходимо доказать, что его дискриминант ($D$) строго больше нуля ($D > 0$). Общая формула дискриминанта для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит так: $D = b^2 - 4ac$.

1) Рассмотрим уравнение $4x^2 - px - 3 = 0$.

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 4$, $b = -p$, $c = -3$.

Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-p)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = p^2 + 48$.

Проанализируем полученное выражение для дискриминанта. Выражение $p^2$ представляет собой квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $p^2 \ge 0$ для любого значения $p$.

Следовательно, минимальное значение дискриминанта достигается при $p^2 = 0$: $D = p^2 + 48 \ge 0 + 48 = 48$.

Так как $D \ge 48$, то $D$ всегда будет строго больше нуля ($D > 0$) при любом значении $p$. Это доказывает, что данное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Рассмотрим уравнение $x^2 + px + p - 2 = 0$.

В данном уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = p$, $c = p - 2$.

Вычислим дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 2) = p^2 - 4p + 8$.

Чтобы определить знак этого выражения, преобразуем его, выделив полный квадрат: $D = p^2 - 4p + 8 = (p^2 - 4p + 4) + 4 = (p - 2)^2 + 4$.

Выражение $(p-2)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(p - 2)^2 \ge 0$ для любого значения $p$.

Следовательно, минимальное значение дискриминанта будет: $D = (p - 2)^2 + 4 \ge 0 + 4 = 4$.

Так как $D \ge 4$, то $D$ всегда будет строго больше нуля ($D > 0$) при любом значении $p$. Это доказывает, что данное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: Что и требовалось доказать.

691. Докажите, что при любом значении $m$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 + mx + m^2 + 1 = 0;$

2) $x^2 - 2mx + 2m^2 + 9 = 0.$

1) $x^2 + mx + m^2 + 1 = 0$

Чтобы доказать, что уравнение не имеет корней, нужно показать, что его дискриминант отрицателен при любом значении параметра $m$. Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, а его дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Уравнение не имеет действительных корней, если $D < 0$.

Для данного уравнения коэффициенты (относительно переменной $x$) равны: $a = 1$, $b = m$, $c = m^2 + 1$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 + 1) = m^2 - 4m^2 - 4 = -3m^2 - 4$.

Теперь проанализируем знак полученного выражения $D = -3m^2 - 4$. При любом действительном значении $m$ его квадрат $m^2$ является неотрицательным числом, то есть $m^2 \ge 0$. При умножении на $-3$ получаем неположительное число: $-3m^2 \le 0$. Если из неположительного числа вычесть положительное число 4, результат всегда будет строго отрицательным: $D = -3m^2 - 4 \le 0 - 4 = -4$.

Поскольку $D \le -4$, то $D < 0$ при любом значении $m$. Это доказывает, что исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Так как дискриминант $D = -3m^2 - 4$ всегда отрицателен, уравнение не имеет корней ни при каком значении $m$.

2) $x^2 - 2mx + 2m^2 + 9 = 0$

Аналогично первому пункту, найдем дискриминант этого уравнения и докажем, что он всегда отрицателен.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -2m$, $c = 2m^2 + 9$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m^2 + 9) = 4m^2 - 8m^2 - 36 = -4m^2 - 36$.

Проанализируем знак выражения $D = -4m^2 - 36$. Вынесем общий множитель $-4$ за скобки: $D = -4(m^2 + 9)$.

При любом действительном значении $m$, выражение $m^2 \ge 0$. Следовательно, сумма $m^2 + 9$ всегда будет положительной, так как $m^2 + 9 \ge 0 + 9 = 9$. Произведение отрицательного числа ($-4$) и строго положительного числа ($m^2 + 9$) всегда является отрицательным числом.

Таким образом, $D < 0$ при любом значении $m$, и уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Так как дискриминант $D = -4(m^2 + 9)$ всегда отрицателен, уравнение не имеет корней ни при каком значении $m$.

692. Докажите, что при любом значении b уравнение $x^2 + bx - 7 = 0$ имеет два корня.

Для того чтобы доказать, что данное квадратное уравнение имеет два корня при любом значении параметра b, необходимо найти его дискриминант и показать, что он всегда положителен. Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант $D > 0$.

Рассмотрим уравнение $x^2 + bx - 7 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + kx + c = 0$, где коэффициенты равны:
$a = 1$
$k = b$
$c = -7$

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = k^2 - 4ac$:
$D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = b^2 + 28$.

Теперь необходимо проанализировать знак полученного выражения для дискриминанта: $D = b^2 + 28$.
Выражение $b^2$ является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным, то есть $b^2 \ge 0$ при любом значении b.
Следовательно, сумма $b^2 + 28$ всегда будет строго положительной, так как к неотрицательному числу $b^2$ прибавляется положительное число 28.
Минимальное значение выражения $b^2$ равно 0 (когда $b=0$), поэтому минимальное значение дискриминанта равно $D_{min} = 0 + 28 = 28$.

Таким образом, при любом значении b дискриминант $D = b^2 + 28 \ge 28$, что означает, что $D$ всегда строго больше нуля ($D > 0$).
Поскольку дискриминант уравнения всегда положителен, уравнение $x^2 + bx - 7 = 0$ всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: Дискриминант данного уравнения равен $D = b^2 + 28$. Так как $b^2 \ge 0$ для любого действительного числа $b$, то $D = b^2 + 28 \ge 28$. Поскольку $D > 0$ при любом значении $b$, уравнение всегда имеет два корня.

693. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $x^2 + (3a + 1)x + 2a^2 + a = 0;$

2) $x^2 - (2a + 4)x + 8a = 0;$

3) $a^2x^2 - 24ax - 25 = 0;$

4) $3(2a - 1)x^2 - 2(a + 1)x + 1 = 0.$

1) Дано уравнение $x^2 + (3a + 1)x + 2a^2 + a = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Для его решения найдем дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac = (3a + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 + a) = 9a^2 + 6a + 1 - 8a^2 - 4a = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$.

Поскольку дискриминант $D = (a+1)^2$ всегда неотрицателен ($D \ge 0$) при любых действительных значениях $a$, уравнение всегда имеет решения.

Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(3a + 1) \pm \sqrt{(a + 1)^2}}{2} = \frac{-3a - 1 \pm (a + 1)}{2}$.

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = \frac{-3a - 1 + a + 1}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$.

$x_2 = \frac{-3a - 1 - (a + 1)}{2} = \frac{-4a - 2}{2} = -2a - 1$.

При $a = -1$ дискриминант равен нулю, и корни совпадают: $x_1 = -(-1) = 1$ и $x_2 = -2(-1) - 1 = 1$.

Ответ: при любом значении $a$ решениями уравнения являются $x_1 = -a$ и $x_2 = -2a-1$.

2) Дано уравнение $x^2 - (2a + 4)x + 8a = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант $D$.

$D = (-(2a + 4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8a = (2a + 4)^2 - 32a = 4a^2 + 16a + 16 - 32a = 4a^2 - 16a + 16 = 4(a^2 - 4a + 4) = 4(a - 2)^2$.

Дискриминант $D = 4(a-2)^2 \ge 0$ при любых $a$, значит, уравнение всегда имеет действительные корни.

Корни уравнения находятся по формуле:

$x = \frac{(2a + 4) \pm \sqrt{4(a - 2)^2}}{2} = \frac{2(a + 2) \pm 2(a - 2)}{2} = (a + 2) \pm (a - 2)$.

Получаем два корня:

$x_1 = (a + 2) + (a - 2) = 2a$.

$x_2 = (a + 2) - (a - 2) = a + 2 - a + 2 = 4$.

При $a = 2$ дискриминант равен нулю, и корни совпадают: $x_1 = 2(2) = 4$ и $x_2 = 4$.

Ответ: при любом значении $a$ решениями уравнения являются $x_1 = 2a$ и $x_2 = 4$.

3) Дано уравнение $a^2x^2 - 24ax - 25 = 0$.

Это уравнение с параметром в старшем коэффициенте. Рассмотрим два случая.

Случай 1: коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$a^2 = 0 \implies a = 0$.

При $a = 0$ уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - 24 \cdot 0 \cdot x - 25 = 0$, что упрощается до $-25 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, при $a = 0$ уравнение не имеет решений.

Случай 2: коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

$a \neq 0$. В этом случае уравнение является квадратным. Найдем дискриминант $D$.

$D = (-24a)^2 - 4 \cdot a^2 \cdot (-25) = 576a^2 + 100a^2 = 676a^2 = (26a)^2$.

Так как $a \neq 0$, то $D > 0$, и уравнение всегда имеет два различных корня.

$x = \frac{-(-24a) \pm \sqrt{(26a)^2}}{2a^2} = \frac{24a \pm 26a}{2a^2}$.

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{24a + 26a}{2a^2} = \frac{50a}{2a^2} = \frac{25}{a}$.

$x_2 = \frac{24a - 26a}{2a^2} = \frac{-2a}{2a^2} = -\frac{1}{a}$.

Ответ: если $a = 0$, то решений нет; если $a \neq 0$, то решениями являются $x_1 = \frac{25}{a}$ и $x_2 = -\frac{1}{a}$.

4) Дано уравнение $3(2a-1)x^2 - 2(a+1)x + 1 = 0$.

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$3(2a - 1) = 0 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$.

При $a = \frac{1}{2}$ уравнение становится линейным: $-2(\frac{1}{2} + 1)x + 1 = 0 \implies -2(\frac{3}{2})x + 1 = 0 \implies -3x + 1 = 0$.

Отсюда находим единственный корень $x = \frac{1}{3}$.

Случай 2: коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

$a \neq \frac{1}{2}$. Уравнение является квадратным. Найдем дискриминант $D$.

$D = (-2(a+1))^2 - 4 \cdot 3(2a-1) \cdot 1 = 4(a^2 + 2a + 1) - 12(2a - 1) = 4a^2 + 8a + 4 - 24a + 12 = 4a^2 - 16a + 16 = 4(a - 2)^2$.

Дискриминант $D = 4(a-2)^2 \ge 0$, поэтому действительные корни существуют.

$x = \frac{2(a+1) \pm \sqrt{4(a-2)^2}}{2 \cdot 3(2a-1)} = \frac{2(a+1) \pm 2(a-2)}{6(2a-1)} = \frac{(a+1) \pm (a-2)}{3(2a-1)}$.

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{(a+1) + (a-2)}{3(2a-1)} = \frac{2a-1}{3(2a-1)} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{(a+1) - (a-2)}{3(2a-1)} = \frac{3}{3(2a-1)} = \frac{1}{2a-1}$.

Если $a=2$, то $D=0$ и корни совпадают: $x_1 = x_2 = \frac{1}{3}$. Этот случай покрывается общей формулой для $x_2$, так как $\frac{1}{2(2)-1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: если $a = \frac{1}{2}$, то $x = \frac{1}{3}$; если $a \neq \frac{1}{2}$, то решениями являются $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{1}{2a-1}$.

694. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $x^2 - (2a - 5)x - 3a^2 + 5a = 0;$

2) $x^2 + (3a - 4)x - 12a = 0;$

3) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0.$

1) $x^2 - (2a - 5)x - 3a^2 + 5a = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$ при любом значении параметра $a$. Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения.

Коэффициенты уравнения: $A = 1$, $B = -(2a - 5)$, $C = -3a^2 + 5a$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = B^2 - 4AC = (-(2a - 5))^2 - 4(1)(-3a^2 + 5a)$

$D = (4a^2 - 20a + 25) + 12a^2 - 20a = 16a^2 - 40a + 25$

Заметим, что выражение для дискриминанта является полным квадратом: $D = (4a - 5)^2$.

Поскольку $D = (4a - 5)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x = \frac{2a - 5 \pm \sqrt{(4a - 5)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{2a - 5 \pm (4a - 5)}{2}$

Вычислим оба корня:

$x_1 = \frac{2a - 5 + (4a - 5)}{2} = \frac{6a - 10}{2} = 3a - 5$

$x_2 = \frac{2a - 5 - (4a - 5)}{2} = \frac{2a - 5 - 4a + 5}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$

Ответ: при любом $a$ корни уравнения: $x_1 = 3a - 5$, $x_2 = -a$.

2) $x^2 + (3a - 4)x - 12a = 0$

Это уравнение также является квадратным относительно $x$ при любом значении $a$.

Коэффициенты уравнения: $A = 1$, $B = 3a - 4$, $C = -12a$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = B^2 - 4AC = (3a - 4)^2 - 4(1)(-12a)$

$D = (9a^2 - 24a + 16) + 48a = 9a^2 + 24a + 16$

Дискриминант является полным квадратом: $D = (3a + 4)^2$.

Так как $D = (3a + 4)^2 \ge 0$ при любых $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x = \frac{-(3a - 4) \pm \sqrt{(3a + 4)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 3a \pm (3a + 4)}{2}$

Вычислим оба корня:

$x_1 = \frac{4 - 3a + (3a + 4)}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{4 - 3a - (3a + 4)}{2} = \frac{4 - 3a - 3a - 4}{2} = \frac{-6a}{2} = -3a$

Ответ: при любом $a$ корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -3a$.

3) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0$

В этом уравнении коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $a = 0$

Если $a = 0$, уравнение перестает быть квадратным и становится линейным:

$0 \cdot x^2 - (0 + 1)x + 1 = 0$

$-x + 1 = 0$

$x = 1$

Случай 2: $a \neq 0$

В этом случае уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант.

Коэффициенты: $A = a$, $B = -(a + 1)$, $C = 1$.

$D = B^2 - 4AC = (-(a + 1))^2 - 4(a)(1) = (a + 1)^2 - 4a$

$D = a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$

Дискриминант $D = (a - 1)^2 \ge 0$ при любых $a$.

Найдем корни по формуле $x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$x = \frac{a + 1 \pm \sqrt{(a - 1)^2}}{2a} = \frac{a + 1 \pm (a - 1)}{2a}$

Вычислим оба корня:

$x_1 = \frac{a + 1 + (a - 1)}{2a} = \frac{2a}{2a} = 1$

$x_2 = \frac{a + 1 - (a - 1)}{2a} = \frac{a + 1 - a + 1}{2a} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a}$

При $a \neq 0$ корни уравнения: $1$ и $\frac{1}{a}$. Если $a = 1$, то $D=0$, и корни совпадают: $x=1$.

Ответ: если $a=0$ или $a=1$, то $x=1$; если $a \neq 0$ и $a \neq 1$, то $x_1=1, x_2=\frac{1}{a}$.

695. При каком значении b имеет единственный корень уравнение:

1) $bx^2 - 6x - 7 = 0;$

2) $(b+5)x^2 - (b+6)x + 3 = 0;$

3) $(b-4)x^2 + (2b-8)x + 15 = 0?$

Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо рассмотреть два случая:

1. Уравнение является линейным (коэффициент при $x^2$ равен нулю, а коэффициент при $x$ не равен нулю).
2. Уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ не равен нулю) и его дискриминант равен нулю.

1) $bx^2 - 6x - 7 = 0$

Случай 1: Уравнение линейное.
Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $b=0$. При $b=0$ уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - 6x - 7 = 0$ $-6x - 7 = 0$ $-6x = 7$ $x = -\frac{7}{6}$ Уравнение имеет один корень. Следовательно, $b=0$ является решением.

Случай 2: Уравнение квадратное с нулевым дискриминантом.
Это происходит, когда $b \neq 0$ и дискриминант $D=0$. Коэффициенты уравнения: $a=b$, $b_{coeff}=-6$, $c=-7$. Найдем дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot b \cdot (-7) = 36 + 28b$. Приравняем дискриминант к нулю: $36 + 28b = 0$ $28b = -36$ $b = -\frac{36}{28} = -\frac{9}{7}$ При этом значении $b \neq 0$, значит, это второе решение.

Ответ: $0; -\frac{9}{7}$.

2) $(b + 5)x^2 - (b + 6)x + 3 = 0$

Случай 1: Уравнение линейное.
Коэффициент при $x^2$ должен быть равен нулю: $b+5 = 0$, откуда $b=-5$. При $b=-5$ коэффициент при $x$ равен $-(b+6) = -(-5+6) = -1 \neq 0$. Уравнение принимает вид: $0 \cdot x^2 - (-5+6)x + 3 = 0$ $-x + 3 = 0$ $x = 3$ Уравнение имеет один корень, значит $b=-5$ является решением.

Случай 2: Уравнение квадратное с нулевым дискриминантом.
Это происходит при $b+5 \neq 0$ (т.е. $b \neq -5$) и $D=0$. Коэффициенты: $a = b+5$, $b_{coeff} = -(b+6)$, $c=3$. Вычислим дискриминант: $D = (-(b+6))^2 - 4 \cdot (b+5) \cdot 3 = (b+6)^2 - 12(b+5)$ $D = (b^2 + 12b + 36) - (12b + 60) = b^2 + 12b + 36 - 12b - 60 = b^2 - 24$ Приравняем дискриминант к нулю: $b^2 - 24 = 0$ $b^2 = 24$ $b = \pm \sqrt{24} = \pm \sqrt{4 \cdot 6} = \pm 2\sqrt{6}$ Оба значения не равны $-5$, поэтому они являются решениями.

Ответ: $-5; -2\sqrt{6}; 2\sqrt{6}$.

3) $(b - 4)x^2 + (2b - 8)x + 15 = 0$

Случай 1: Уравнение линейное.
Коэффициент при $x^2$ должен быть равен нулю: $b-4 = 0$, откуда $b=4$. Подставим $b=4$ в уравнение: $(4-4)x^2 + (2 \cdot 4 - 8)x + 15 = 0$ $0 \cdot x^2 + (8-8)x + 15 = 0$ $0 \cdot x + 15 = 0$ $15 = 0$ Получено неверное равенство, это означает, что при $b=4$ уравнение не имеет корней. Этот случай не дает решения.

Случай 2: Уравнение квадратное с нулевым дискриминантом.
Это происходит при $b-4 \neq 0$ (т.е. $b \neq 4$) и $D=0$. Коэффициенты: $a = b-4$, $b_{coeff} = 2b-8$, $c=15$. Вычислим дискриминант: $D = (2b-8)^2 - 4 \cdot (b-4) \cdot 15$ Заметим, что $2b-8 = 2(b-4)$, поэтому: $D = (2(b-4))^2 - 60(b-4) = 4(b-4)^2 - 60(b-4)$ Приравняем дискриминант к нулю и вынесем общий множитель $4(b-4)$ за скобки: $4(b-4)((b-4) - 15) = 0$ $4(b-4)(b-19) = 0$ Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $b-4=0$ или $b-19=0$. Отсюда $b=4$ или $b=19$. По условию этого случая, $b \neq 4$. Следовательно, подходит только $b=19$.

Ответ: $19$.

696. При каком значении b имеет единственный корень уравнение:

1) $bx^2 + x + b = 0;$

2) $(b + 3)x^2 + (b + 1)x - 2 = 0?$

1) $bx^2+x+b=0;$

Уравнение с параметром может иметь единственный корень в двух основных случаях: когда оно становится линейным или когда оно является квадратным с нулевым дискриминантом.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при старшей степени ($x^2$) равен нулю. В данном уравнении это означает, что $b=0$.
Подставим $b=0$ в исходное уравнение: $0 \cdot x^2 + x + 0 = 0$
$x = 0$
Мы получили линейное уравнение с одним корнем. Следовательно, при $b=0$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: Уравнение является квадратным с одним корнем.

Это условие выполняется, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($b \neq 0$), а дискриминант ($D$) равен нулю.
Вычислим дискриминант для уравнения $bx^2+x+b=0$ по формуле $D = k^2 - 4ac$ (где $a, k, c$ - коэффициенты уравнения):
$D = 1^2 - 4 \cdot b \cdot b = 1 - 4b^2$
Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значения $b$, при которых корень будет единственным:
$1 - 4b^2 = 0$
$4b^2 = 1$
$b^2 = \frac{1}{4}$
$b = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$
Получаем два значения: $b_1 = 0.5$ и $b_2 = -0.5$. Оба этих значения удовлетворяют условию $b \neq 0$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем все значения параметра $b$.
Ответ: $b = -0.5; b = 0; b = 0.5$.

2) $(b+3)x^2+(b+1)x-2=0;$

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим два случая.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Коэффициент при $x^2$ должен быть равен нулю:
$b+3=0$
$b = -3$
Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы проверить:
$(-3+3)x^2+(-3+1)x-2=0$
$0 \cdot x^2 - 2x - 2 = 0$
$-2x = 2$
$x=-1$
При $b=-3$ уравнение становится линейным и имеет один корень.

Случай 2: Уравнение является квадратным с одним корнем.

Это условие выполняется, когда $b+3 \neq 0$ (т.е. $b \neq -3$), а дискриминант $D=0$.
Вычислим дискриминант:
$D = (b+1)^2 - 4 \cdot (b+3) \cdot (-2)$
$D = (b^2 + 2b + 1) + 8(b+3)$
$D = b^2 + 2b + 1 + 8b + 24$
$D = b^2 + 10b + 25$
Полученное выражение является полным квадратом: $D = (b+5)^2$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$(b+5)^2 = 0$
$b+5 = 0$
$b = -5$
Это значение удовлетворяет условию $b \neq -3$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем все искомые значения $b$.
Ответ: $b = -5; b = -3$.

697. Упростите выражение:

$ \left( \frac{a+b}{a} - \frac{4b}{a+b} \right) \cdot \frac{a+b}{a-b} $

Для того чтобы упростить выражение $ \left( \frac{a+b}{a} - \frac{4b}{a+b} \right) \cdot \frac{a+b}{a-b} $, необходимо сначала выполнить действие в скобках, а затем умножение.

1. Выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $ a(a+b) $.

$ \frac{a+b}{a} - \frac{4b}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a(a+b)} - \frac{4b \cdot a}{a(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - 4ab}{a(a+b)} $

Упростим числитель полученной дроби. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $, и приведем подобные слагаемые:

$ (a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 $

Полученный числитель можно свернуть по формуле квадрата разности $ x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2 $:

$ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $

Таким образом, выражение в скобках равно $ \frac{(a-b)^2}{a(a+b)} $.

2. Теперь выполним умножение результата на вторую дробь:

$ \frac{(a-b)^2}{a(a+b)} \cdot \frac{a+b}{a-b} $

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $ (a+b) $ сокращается полностью. Множитель $ (a-b) $ в знаменателе сокращается с одним из множителей $ (a-b) $ в числителе (где он стоит в квадрате):

$ \frac{(a-b)^{\cancel{2}}}{a \cdot \cancel{(a+b)}} \cdot \frac{\cancel{(a+b)}}{\cancel{(a-b)}} = \frac{a-b}{a} $

Упрощение справедливо при области допустимых значений, где знаменатели не равны нулю: $ a \neq 0 $, $ a+b \neq 0 $ и $ a-b \neq 0 $.

Ответ: $ \frac{a-b}{a} $

698. Найдите значение выражения $\frac{(a^{-3})^3}{a^{-2} \cdot a^{-5}}$ при $a = \frac{1}{3}$.

Для нахождения значения выражения $\frac{(a^{-3})^3}{a^{-2} \cdot a^{-5}}$ при $a = \frac{1}{3}$ сначала упростим его, используя свойства степеней.

1. Упрощение числителя:
При возведении степени в степень их показатели перемножаются. По свойству $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:
$(a^{-3})^3 = a^{-3 \cdot 3} = a^{-9}$

2. Упрощение знаменателя:
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. По свойству $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$a^{-2} \cdot a^{-5} = a^{-2 + (-5)} = a^{-7}$

3. Упрощение всего выражения:
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя. По свойству $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$\frac{a^{-9}}{a^{-7}} = a^{-9 - (-7)} = a^{-9 + 7} = a^{-2}$

4. Подстановка значения $a$:
Теперь, когда выражение упрощено до $a^{-2}$, подставим в него заданное значение $a = \frac{1}{3}$:
$a^{-2} = (\frac{1}{3})^{-2}$

5. Вычисление результата:
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести в ту же степень, но с положительным знаком. По свойству $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$:
$(\frac{1}{3})^{-2} = (\frac{3}{1})^2 = 3^2 = 9$

Ответ: 9