Страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

655. Печатный автомат получает на входе карточку с числами $(a; b)$ и выдаёт на выходе карточку с числами $\left(\frac{a+b}{2}; \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\right)$. Можно ли с помощью этого автомата из карточки с числами $(0,25; 1000)$ получить карточку с числами $(1,25; 250)$?

Пусть печатный автомат получает на входе карточку с числами $(a; b)$. На выходе он выдает карточку с новыми числами $(a'; b')$, которые вычисляются по формулам:

$a' = \frac{a+b}{2}$ (среднее арифметическое)

$b' = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ (среднее гармоническое)

Для решения подобных задач полезно найти инвариант — величину, которая не изменяется в результате преобразования. Давайте рассмотрим произведение чисел на карточке.

Вычислим произведение новых чисел $a'$ и $b'$:

$a' \cdot b' = \left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot \left(\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}\right)$

Сначала упростим второй множитель:

$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{2ab}{a+b}$

Теперь подставим это выражение обратно в формулу для произведения:

$a' \cdot b' = \left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot \left(\frac{2ab}{a+b}\right)$

Сократив одинаковые множители $(a+b)$ и $2$ в числителе и знаменателе, получим:

$a' \cdot b' = ab$

Это означает, что произведение двух чисел на карточке является инвариантом, то есть оно не меняется после каждого применения автомата.

Теперь проверим, одинаково ли произведение чисел для начальной и конечной карточек.

1. Произведение чисел на начальной карточке $(0,25; 1000)$:

$0,25 \cdot 1000 = 250$

2. Произведение чисел на искомой карточке $(1,25; 250)$:

$1,25 \cdot 250 = \frac{5}{4} \cdot 250 = \frac{1250}{4} = 312,5$

Поскольку произведения чисел на начальной и конечной карточках не равны ($250 \neq 312,5$), а операция автомата сохраняет произведение, то получить из карточки $(0,25; 1000)$ карточку $(1,25; 250)$ невозможно.

Ответ: нет, нельзя.