Страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

661. При каких значениях переменной:

1) значения многочленов $6x^2 - 2$ и $5 - x$ равны;

2) значение двучлена $y - 6$ равно значению трёхчлена $y^2 - 9y + 3$;

3) трёхчлены $4m^2 + 4m + 2$ и $2m^2 + 10m + 8$ принимают равные значения?

1) Чтобы найти значения переменной, при которых значения многочленов равны, необходимо приравнять их друг к другу и решить полученное уравнение:

$6x^2 - 2 = 5 - x$

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$6x^2 + x - 2 - 5 = 0$

$6x^2 + x - 7 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=6, b=1, c=-7$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 1 + 168 = 169$

Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 13}{12} = \frac{12}{12} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 13}{12} = -\frac{14}{12} = -\frac{7}{6}$

Ответ: $x=1$ и $x=-\frac{7}{6}$.

2) Приравняем значение двучлена значению трёхчлена:

$y - 6 = y^2 - 9y + 3$

Перенесём все члены в правую часть, чтобы сгруппировать их в стандартное квадратное уравнение:

$0 = y^2 - 9y - y + 3 + 6$

$y^2 - 10y + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=-10, c=9$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$y_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $y=1$ и $y=9$.

3) Чтобы трёхчлены принимали равные значения, приравняем их:

$4m^2 + 4m + 2 = 2m^2 + 10m + 8$

Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые:

$(4m^2 - 2m^2) + (4m - 10m) + (2 - 8) = 0$

$2m^2 - 6m - 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$m^2 - 3m - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=-3, c=-3$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$

Найдем корни уравнения:

$m_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}$

$m_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}$

Ответ: $m = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}$ и $m = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}$.

662. При каких значениях переменной:

1) значение двучлена $4x + 4$ равно значению трёхчлена $3x^2 + 5x - 10$;

2) значения трёхчленов $10p^2 + 10p + 8$ и $3p^2 - 10p + 11$ равны?

1) Чтобы найти значения переменной, при которых значение двучлена $4x + 4$ равно значению трёхчлена $3x^2 + 5x - 10$, необходимо приравнять эти выражения и решить полученное уравнение.

$4x + 4 = 3x^2 + 5x - 10$

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 + 5x - 10 - 4x - 4 = 0$

Приведём подобные слагаемые:

$3x^2 + (5x - 4x) + (-10 - 4) = 0$

$3x^2 + x - 14 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней через дискриминант. Сначала вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 3$, $b = 1$, $c = -14$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 1 + 168 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 13}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 13}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Таким образом, значения выражений равны при $x = 2$ и $x = -\frac{7}{3}$.

Ответ: $2$; $-\frac{7}{3}$.

2) Чтобы найти значения переменной, при которых значения трёхчленов $10p^2 + 10p + 8$ и $3p^2 - 10p + 11$ равны, приравняем их и решим полученное уравнение.

$10p^2 + 10p + 8 = 3p^2 - 10p + 11$

Перенесём все члены в левую часть уравнения и приведём подобные слагаемые:

$(10p^2 - 3p^2) + (10p - (-10p)) + (8 - 11) = 0$

$7p^2 + 20p - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a = 7$, $b = 20$, $c = -3$.

$D = 20^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 400 + 84 = 484$

Найдём корни уравнения по формуле $p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$p_1 = \frac{-20 + \sqrt{484}}{2 \cdot 7} = \frac{-20 + 22}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

$p_2 = \frac{-20 - \sqrt{484}}{2 \cdot 7} = \frac{-20 - 22}{14} = \frac{-42}{14} = -3$

Таким образом, значения трёхчленов равны при $p = \frac{1}{7}$ и $p = -3$.

Ответ: $\frac{1}{7}$; $-3$.

663. Найдите корни уравнения:

1) $(2x - 5)(x + 2) = 18;$

2) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9;$

3) $(x + 3)^2 - (2x - 1)^2 = 16;$

4) $(x - 6)^2 - 2x(x + 3) = 30 - 12x;$

5) $(x + 7)(x - 8) - (4x + 1)(x - 2) = -21x;$

6) $(2x - 1)(2x + 1) - x(1 - x) = 2x(x + 1).$

1) $(2x - 5)(x + 2) = 18$
Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй:
$2x \cdot x + 2x \cdot 2 - 5 \cdot x - 5 \cdot 2 = 18$
$2x^2 + 4x - 5x - 10 = 18$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 - x - 10 = 18$
Перенесем 18 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 - x - 10 - 18 = 0$
$2x^2 - x - 28 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=2, b=-1, c=-28$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-28) = 1 + 224 = 225$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + 15}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 15}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$x_2 = \frac{-(-1) - 15}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 15}{4} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5$
Ответ: -3.5; 4.

2) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9$
Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(16x^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 9) + (9x^2 - 1) = 9$
$16x^2 - 24x + 9 + 9x^2 - 1 = 9$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(16x^2 + 9x^2) - 24x + (9 - 1) = 9$
$25x^2 - 24x + 8 = 9$
Перенесем 9 в левую часть:
$25x^2 - 24x + 8 - 9 = 0$
$25x^2 - 24x - 1 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. $a=25, b=-24, c=-1$.
$D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-1) = 576 + 100 = 676$
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.
$x_1 = \frac{-(-24) + 26}{2 \cdot 25} = \frac{24 + 26}{50} = \frac{50}{50} = 1$
$x_2 = \frac{-(-24) - 26}{2 \cdot 25} = \frac{24 - 26}{50} = \frac{-2}{50} = -\frac{1}{25} = -0.04$
Ответ: -0.04; 1.

3) $(x + 3)^2 - (2x - 1)^2 = 16$
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Здесь $a = x + 3$ и $b = 2x - 1$.
$((x + 3) - (2x - 1))((x + 3) + (2x - 1)) = 16$
Упростим выражения в каждой скобке:
$(x + 3 - 2x + 1)(x + 3 + 2x - 1) = 16$
$(-x + 4)(3x + 2) = 16$
Раскроем скобки:
$-3x^2 - 2x + 12x + 8 = 16$
$-3x^2 + 10x + 8 = 16$
Перенесем все в левую часть:
$-3x^2 + 10x + 8 - 16 = 0$
$-3x^2 + 10x - 8 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$3x^2 - 10x + 8 = 0$
Решим квадратное уравнение. $a=3, b=-10, c=8$.
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$
$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.
$x_1 = \frac{-(-10) + 2}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$x_2 = \frac{-(-10) - 2}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
Ответ: $\frac{4}{3}$; 2.

4) $(x - 6)^2 - 2x(x + 3) = 30 - 12x$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$(x^2 - 12x + 36) - (2x^2 + 6x) = 30 - 12x$
$x^2 - 12x + 36 - 2x^2 - 6x = 30 - 12x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-x^2 - 18x + 36 = 30 - 12x$
Перенесем все члены из правой части в левую:
$-x^2 - 18x + 36 - 30 + 12x = 0$
$-x^2 - 6x + 6 = 0$
Умножим уравнение на -1:
$x^2 + 6x - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. $a=1, b=6, c=-6$.
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60$
$\sqrt{D} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$.
$x_{1,2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{2 \cdot 1} = -3 \pm \sqrt{15}$
$x_1 = -3 + \sqrt{15}$
$x_2 = -3 - \sqrt{15}$
Ответ: $-3 - \sqrt{15}$; $-3 + \sqrt{15}$.

5) $(x + 7)(x - 8) - (4x + 1)(x - 2) = -21x$
Раскроем скобки в левой части:
$(x^2 - 8x + 7x - 56) - (4x^2 - 8x + x - 2) = -21x$
$(x^2 - x - 56) - (4x^2 - 7x - 2) = -21x$
$x^2 - x - 56 - 4x^2 + 7x + 2 = -21x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-3x^2 + 6x - 54 = -21x$
Перенесем $-21x$ в левую часть:
$-3x^2 + 6x + 21x - 54 = 0$
$-3x^2 + 27x - 54 = 0$
Разделим все уравнение на -3 для упрощения:
$x^2 - 9x + 18 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 18. Подбором находим корни: $x_1=3, x_2=6$.
Проверим с помощью дискриминанта: $a=1, b=-9, c=18$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$
$\sqrt{D} = 3$.
$x_1 = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Ответ: 3; 6.

6) $(2x - 1)(2x + 1) - x(1 - x) = 2x(x + 1)$
Раскроем все скобки:
$(4x^2 - 1) - (x - x^2) = 2x^2 + 2x$
$4x^2 - 1 - x + x^2 = 2x^2 + 2x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$5x^2 - x - 1 = 2x^2 + 2x$
Перенесем все члены в левую часть:
$5x^2 - 2x^2 - x - 2x - 1 = 0$
$3x^2 - 3x - 1 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. $a=3, b=-3, c=-1$.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 9 + 12 = 21$
$\sqrt{D} = \sqrt{21}$.
$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 3} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$
$x_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$
$x_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{6}$
Ответ: $\frac{3 - \sqrt{21}}{6}$; $\frac{3 + \sqrt{21}}{6}$.

664. Решите уравнение:

1) $(x - 4)^2 = 4x - 11;$

2) $(x + 5)^2 + (x - 7)(x + 7) = 6x - 19;$

3) $(3x - 1)(x + 4) = (2x + 3)(x + 3) - 17.$

1) $(x - 4)^2 = 4x - 11$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = 4x - 11$

$x^2 - 8x + 16 = 4x - 11$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 8x + 16 - 4x + 11 = 0$

$x^2 - 12x + 27 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-12) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Ответ: 3; 9.

2) $(x + 5)^2 + (x - 7)(x + 7) = 6x - 19$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Первое слагаемое раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а второе — по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) + (x^2 - 7^2) = 6x - 19$

$(x^2 + 10x + 25) + (x^2 - 49) = 6x - 19$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x^2 + 10x - 24 = 6x - 19$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 + 10x - 24 - 6x + 19 = 0$

$2x^2 + 4x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 16 + 40 = 56$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4 \cdot 14}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{14}}{4}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{14}}{2}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{14}}{2}$, $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{14}}{2}$

Ответ: $\frac{-2 - \sqrt{14}}{2}$; $\frac{-2 + \sqrt{14}}{2}$.

3) $(3x - 1)(x + 4) = (2x + 3)(x + 3) - 17$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перемножив многочлены:

Левая часть: $(3x - 1)(x + 4) = 3x^2 + 12x - x - 4 = 3x^2 + 11x - 4$

Правая часть: $(2x + 3)(x + 3) - 17 = (2x^2 + 6x + 3x + 9) - 17 = 2x^2 + 9x + 9 - 17 = 2x^2 + 9x - 8$

Приравняем полученные выражения:

$3x^2 + 11x - 4 = 2x^2 + 9x - 8$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 2x^2 + 11x - 9x - 4 + 8 = 0$

$x^2 + 2x + 4 = 0$

Попробуем решить полученное квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

665. Найдите натуральное число, квадрат которого на 42 больше данного числа.

Пусть искомое натуральное число — это x.

Согласно условию задачи, квадрат этого числа ($x^2$) на 42 больше самого числа (x). Это можно записать в виде уравнения:

$x^2 = x + 42$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - x - 42 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью вычисления дискриминанта.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-1$, $c=-42$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$

Так как дискриминант $D = 169 > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Мы получили два решения: 7 и -6. Однако в условии задачи требуется найти натуральное число. Натуральными числами являются целые положительные числа (1, 2, 3, ...).

Из двух найденных корней только 7 является натуральным числом. Число -6 является целым, но не натуральным.

Проверим найденное решение:

Квадрат числа 7 равен $7^2 = 49$.

Разница между квадратом числа и самим числом: $49 - 7 = 42$.

Условие задачи выполняется.

Ответ: 7

666. Найдите периметр прямоугольника, площадь которого равна 70 $\text{см}^2$, а одна из сторон на 9 см больше другой.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см.

Согласно условию, другая сторона на 9 см больше, следовательно, ее длина составляет $(x + 9)$ см.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его смежных сторон ($a$ и $b$). По условию, площадь равна 70 см$^2$.

Составим уравнение на основе формулы площади $S = a \cdot b$:
$x \cdot (x + 9) = 70$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 9x = 70$
$x^2 + 9x - 70 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 81 + 280 = 361$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 19}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 19}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Поскольку длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательной, корень $x_2 = -14$ не соответствует условию задачи.

Следовательно, длина меньшей стороны прямоугольника равна 5 см.

Длина большей стороны равна $x + 9 = 5 + 9 = 14$ см.

Периметр прямоугольника ($P$) найдем по формуле $P = 2(a + b)$:
$P = 2 \cdot (5 + 14) = 2 \cdot 19 = 38$ см.

Ответ: 38 см.

667. Произведение двух чисел равно 84. Найдите эти числа, если одно из них на 8 меньше другого.

Пусть большее из двух искомых чисел равно $x$. Тогда меньшее число, которое по условию на 8 меньше другого, будет равно $x-8$.
Произведение этих двух чисел равно 84. Составим уравнение на основе этого условия:
$x \cdot (x - 8) = 84$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 8x = 84$
$x^2 - 8x - 84 = 0$
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Сначала вычислим дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-8$, $c=-84$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 64 + 336 = 400$
Корень из дискриминанта равен $\sqrt{400} = 20$.
Теперь найдем корни уравнения, которые являются возможными значениями для $x$:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) + 20}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 20}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) - 20}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 20}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Мы получили два возможных значения для большего числа. Для каждого из них найдем соответствующее ему меньшее число.
1. Если большее число равно 14, то меньшее число равно $14 - 8 = 6$. Проверим их произведение: $14 \cdot 6 = 84$. Эта пара чисел является решением.
2. Если большее число равно -6, то меньшее число равно $-6 - 8 = -14$. Проверим их произведение: $(-6) \cdot (-14) = 84$. Эта пара чисел также является решением.
Таким образом, задача имеет два возможных набора чисел.
Ответ: 14 и 6, или -6 и -14.

668. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 89 больше их суммы. Найдите эти числа.

Пусть первое натуральное число равно $n$, тогда следующее за ним последовательное натуральное число будет $n + 1$. По условию задачи, $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Сумма этих двух чисел равна: $n + (n + 1) = 2n + 1$.

Произведение этих двух чисел равно: $n(n + 1) = n^2 + n$.

Согласно условию задачи, произведение на 89 больше суммы. Это можно записать в виде уравнения:
$n^2 + n = (2n + 1) + 89$

Упростим уравнение и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$n^2 + n = 2n + 90$
$n^2 + n - 2n - 90 = 0$
$n^2 - n - 90 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-1$, $c=-90$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

По условию задачи, мы ищем натуральные числа, а число $-9$ не является натуральным. Следовательно, единственным подходящим решением является $n = 10$.

Таким образом, первое число равно 10, а второе последовательное число равно $n + 1 = 10 + 1 = 11$.

Проведем проверку:
Сумма чисел: $10 + 11 = 21$.
Произведение чисел: $10 \cdot 11 = 110$.
Разница между произведением и суммой: $110 - 21 = 89$.
Условие задачи выполнено.

Ответ: 10 и 11.

669. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 365.

Найдите эти числа.

Пусть первое искомое натуральное число равно $n$. Так как числа последовательные, то второе число будет равно $n+1$.

По условию задачи, сумма квадратов этих чисел равна 365. Составим и решим уравнение:

$n^2 + (n + 1)^2 = 365$

Раскроем скобки, применив формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$n^2 + n^2 + 2n + 1 = 365$

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$2n^2 + 2n + 1 - 365 = 0$

$2n^2 + 2n - 364 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для его упрощения:

$n^2 + n - 182 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=1$, $c=-182$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-182) = 1 + 728 = 729$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 27}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 27}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

В условии сказано, что числа натуральные. Натуральные числа — это целые положительные числа. Корень $n_2 = -14$ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи.

Следовательно, первое число равно $n = 13$.

Второе последовательное число равно $n + 1 = 13 + 1 = 14$.

Выполним проверку: найдем сумму квадратов чисел 13 и 14.

$13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$

Сумма квадратов равна 365, что соответствует условию задачи.

Ответ: 13 и 14.

670. Решите уравнение:

1) $2x^2 + x\sqrt{5} - 15 = 0;$

2) $x^2 - x(\sqrt{6}-1) - \sqrt{6} = 0;$

3) $\frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{3} = -1;$

4) $\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{x^2 + 17}{9} = \frac{5x - 1}{6}.$

Дано квадратное уравнение $2x^2 + x\sqrt{5} - 15 = 0$.

Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты: $a = 2$, $b = \sqrt{5}$, $c = -15$.

Для решения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 5 - 8(-15) = 5 + 120 = 125$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-\sqrt{5} + 5\sqrt{5}}{2 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{5}}{4} = \sqrt{5}$.

$x_2 = \frac{-\sqrt{5} - 5\sqrt{5}}{2 \cdot 2} = \frac{-6\sqrt{5}}{4} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $\sqrt{5}; -\frac{3\sqrt{5}}{2}$.

Дано уравнение $x^2 - x(\sqrt{6}-1) - \sqrt{6} = 0$.

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - (\sqrt{6}-1)x - \sqrt{6} = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -(\sqrt{6}-1) = 1-\sqrt{6}$, $c = -\sqrt{6}$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (1-\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\sqrt{6}) = (1 - 2\sqrt{6} + 6) + 4\sqrt{6} = 7 - 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} = 7 + 2\sqrt{6}$.

Чтобы извлечь корень из дискриминанта, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата: $7 + 2\sqrt{6} = 1 + 6 + 2\sqrt{1 \cdot 6} = 1^2 + (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{6} = (1+\sqrt{6})^2$.

Следовательно, $\sqrt{D} = \sqrt{(1+\sqrt{6})^2} = 1+\sqrt{6}$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(1-\sqrt{6}) + (1+\sqrt{6})}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{6}-1 + 1+\sqrt{6}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$.

$x_2 = \frac{-(1-\sqrt{6}) - (1+\sqrt{6})}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{6}-1 - 1-\sqrt{6}}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Ответ: $\sqrt{6}; -1$.

Дано уравнение $\frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{3} = -1$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 8 и 3, которое равно 24.

$24 \cdot \frac{x^2 - 4}{8} - 24 \cdot \frac{2x + 3}{3} = 24 \cdot (-1)$

$3(x^2 - 4) - 8(2x + 3) = -24$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$3x^2 - 12 - 16x - 24 = -24$

$3x^2 - 16x - 36 = -24$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$3x^2 - 16x - 36 + 24 = 0$

$3x^2 - 16x - 12 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=3, b=-16, c=-12$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400$.

$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-16) + 20}{2 \cdot 3} = \frac{16 + 20}{6} = \frac{36}{6} = 6$.

$x_2 = \frac{-(-16) - 20}{2 \cdot 3} = \frac{16 - 20}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $6; -\frac{2}{3}$.

Дано уравнение $\frac{4x^2 + x}{3} - \frac{x^2 + 17}{9} = \frac{5x - 1}{6}$.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 3, 9 и 6. НОК(3, 9, 6) = 18. Умножим обе части уравнения на 18:

$18 \cdot \left(\frac{4x^2 + x}{3}\right) - 18 \cdot \left(\frac{x^2 + 17}{9}\right) = 18 \cdot \left(\frac{5x - 1}{6}\right)$

$6(4x^2 + x) - 2(x^2 + 17) = 3(5x - 1)$

Раскроем скобки:

$24x^2 + 6x - 2x^2 - 34 = 15x - 3$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$(24x^2 - 2x^2) + (6x - 15x) + (-34 + 3) = 0$

$22x^2 - 9x - 31 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=22, b=-9, c=-31$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 22 \cdot (-31) = 81 + 88 \cdot 31 = 81 + 2728 = 2809$.

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2809} = 53$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-9) + 53}{2 \cdot 22} = \frac{9 + 53}{44} = \frac{62}{44} = \frac{31}{22}$.

$x_2 = \frac{-(-9) - 53}{2 \cdot 22} = \frac{9 - 53}{44} = \frac{-44}{44} = -1$.

Ответ: $\frac{31}{22}; -1$.

671. Решите уравнение:

1) $x^2 + 3x\sqrt{2} + 4 = 0;$

2) $x^2 - x(\sqrt{3} + 2) + 2\sqrt{3} = 0;$

3) $\frac{2x^2 + x}{3} - \frac{x + 3}{4} = x - 1.$

1) $x^2 + 3x\sqrt{2} + 4 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=3\sqrt{2}$, $c=4$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 \cdot 2 - 16 = 18 - 16 = 2$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{-4\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}; -2\sqrt{2}$.

2) $x^2 - x(\sqrt{3} + 2) + 2\sqrt{3} = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-(\sqrt{3} + 2)$, $c=2\sqrt{3}$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-(\sqrt{3} + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2\sqrt{3}) = (\sqrt{3} + 2)^2 - 8\sqrt{3}$.
Раскроем скобки: $D = ((\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2) - 8\sqrt{3} = (3 + 4\sqrt{3} + 4) - 8\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = 7 - 4\sqrt{3}$.
Представим выражение $7 - 4\sqrt{3}$ в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3})^2$.
Итак, $D = (2 - \sqrt{3})^2$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{\sqrt{3} + 2 + \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 2 + (2 - \sqrt{3})}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{\sqrt{3} + 2 - \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 2 - (2 - \sqrt{3})}{2} = \frac{\sqrt{3} + 2 - 2 + \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Ответ: $2; \sqrt{3}$.

3) $\frac{2x^2 + x}{3} - \frac{x + 3}{4} = x - 1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 12:
$12 \cdot \frac{2x^2 + x}{3} - 12 \cdot \frac{x + 3}{4} = 12 \cdot (x - 1)$.
$4(2x^2 + x) - 3(x + 3) = 12(x - 1)$.
Раскроем скобки:
$8x^2 + 4x - 3x - 9 = 12x - 12$.
Приведем подобные слагаемые:
$8x^2 + x - 9 = 12x - 12$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$8x^2 + x - 12x - 9 + 12 = 0$.
$8x^2 - 11x + 3 = 0$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=8$, $b=-11$, $c=3$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 121 - 96 = 25$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 8} = \frac{11 + 5}{16} = \frac{16}{16} = 1$.
$x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 8} = \frac{11 - 5}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $1; \frac{3}{8}$.

672. При каких значениях $a$ число $\frac{1}{4}$ является корнем уравнения $a^2x^2 + 4ax - 5 = 0?$

По условию задачи, число $x = \frac{1}{4}$ является корнем уравнения $a^2x^2 + 4ax - 5 = 0$. Это означает, что если подставить значение $x = \frac{1}{4}$ в уравнение, то получится верное равенство.

Выполним подстановку $x = \frac{1}{4}$ в исходное уравнение:

$a^2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 + 4a \cdot \left(\frac{1}{4}\right) - 5 = 0$

Теперь упростим полученное выражение:

$a^2 \cdot \frac{1}{16} + a - 5 = 0$

$\frac{a^2}{16} + a - 5 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $a$. Для удобства решения умножим все члены уравнения на 16, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

$16 \cdot \left(\frac{a^2}{16}\right) + 16 \cdot a - 16 \cdot 5 = 16 \cdot 0$

$a^2 + 16a - 80 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где в нашем уравнении коэффициенты $a=1$, $b=16$, $c=-80$.

$D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 256 + 320 = 576$

Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$.

Найдем значения $a$ по формуле корней квадратного уравнения $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$a_1 = \frac{-16 - 24}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20$

$a_2 = \frac{-16 + 24}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, мы нашли два значения параметра $a$, при которых число $\frac{1}{4}$ является корнем заданного уравнения.

Ответ: -20; 4.