Номер 672, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 672, страница 169.

Условие.

672. При каких значениях $a$ число $\frac{1}{4}$ является корнем уравнения $a^2x^2 + 4ax - 5 = 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

По условию задачи, число $x = \frac{1}{4}$ является корнем уравнения $a^2x^2 + 4ax - 5 = 0$. Это означает, что если подставить значение $x = \frac{1}{4}$ в уравнение, то получится верное равенство.

Выполним подстановку $x = \frac{1}{4}$ в исходное уравнение:

$a^2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 + 4a \cdot \left(\frac{1}{4}\right) - 5 = 0$

Теперь упростим полученное выражение:

$a^2 \cdot \frac{1}{16} + a - 5 = 0$

$\frac{a^2}{16} + a - 5 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $a$. Для удобства решения умножим все члены уравнения на 16, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

$16 \cdot \left(\frac{a^2}{16}\right) + 16 \cdot a - 16 \cdot 5 = 16 \cdot 0$

$a^2 + 16a - 80 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где в нашем уравнении коэффициенты $a=1$, $b=16$, $c=-80$.

$D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 256 + 320 = 576$

Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$.

Найдем значения $a$ по формуле корней квадратного уравнения $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$a_1 = \frac{-16 - 24}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20$

$a_2 = \frac{-16 + 24}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, мы нашли два значения параметра $a$, при которых число $\frac{1}{4}$ является корнем заданного уравнения.

Ответ: -20; 4.